Teoria Função inversa

Veja como algumas funções inversas funcionam e os conjuntos domínio e imagem se comportam em casos de funções elementares.

• A função logarítmica é inversa da função exponencial:
  $f(x) = 2^x \\ f^{-1}(x) = \log_2 x$

\begin{align}
f^{-1} \circ f &= \log_2 2^x = x \cdot \log_2 2 = x \\
f \circ f^{-1} &= 2^{\log_2 x} = x
\end{align}

Sobre o domínio e imagem de $f$:
$D_f = \mathbb{R} \\
Im_f = [0, \infty)$

Assim, o domínio e imagem do logaritmo devem ser:
$D_{f^{-1}} = [0, \infty)\\
Im_{f^{-1}} = \mathbb{R}$

A função $g(x) = \frac{1}{x}$ é sua própria inversa:

\begin{align}
g \circ g &= \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \\
\end{align}

Por $g$ ser sua própria inversa, o conjunto domínio e o conjunto imagem são o mesmo:
$D_f = \mathbb{R}^* \\
Im_f = \mathbb{R}^*$

Funções do tipo $h(x) = -x + b$ também são suas próprias inversas.

\begin{align}
h \circ h &= \, -(-x +b) + b = x \, – b + b = x \\
\end{align}

Por $h$ ser sua própria inversa o conjunto domínio e o conjunto imagem são os mesmos:
$D_f = \mathbb{R} \\ Im_f = \mathbb{R}$

A função $\sqrt x$ é inversa da função $x^2$, mas é preciso fazer uma restrição no domínio desta. Veremos porque isso ocorre.

$f(x) = \sqrt x \\ f^{-1}(x) = x^2$

$$\sqrt {x^2} = | x | = x, \text{ se } x \geq 0$$

No universo dos números reais só podemos calcular raiz quadrada de números positivos:
$D_f = \mathbb{R}^+ \\ Im_f = \mathbb{R}^+$

Não há restrição natural para a função $x^2$, mas para que seja inversa de $\sqrt x$, é necessário que a imagem de $f$ seja o domínio de $f^{-1}$ e vice-versa:
$D_{f^{-1}} = \mathbb{R}^+ \\ Im_{f^{-1}} = \mathbb{R}^+$