Teoria Função

Se $f:A\to B$ é uma função, então o seu gráfico é o conjunto de todos os pares ordenados $(x,f(x))$ tais que $x\in A$. Isto é, o gráfico de $f$ é o conjunto
$$\operatorname{Graf}(f) = \left\{\big(x,f(x):x\in A\big)\right\}$$
Repare que, como $f(x)\in B$ para todo $x\in A$, então $\operatorname{Graf}(f)$ é um subconjunto de $A\times B$.

Geralmente, em um gráfico, o eixo das abcissas (horizontal) representa do domínio da função e o eixo das ordenadas (vertical) representa o contradomínio.

Vamos primeiro mostrar contraexemplos de gráficos que não podem representar funções e depois mostrar exemplos dos que podem representar funções.

Contraexemplo 1:

Considere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

O gráfico acima não pode representar $f$, pois o valor $x = 1$ do domínio, por exemplo, não possui imagem.

Contraexemplo 2:

Considere $g: [- 1, 3] \rightarrow [2, 5]$.

O gráfico acima não pode representar $g$ pois o valor $x = 2$, por exemplo, está relacionado a dois valores do contradomínio.

Então, basta que estas duas coisas não aconteçam para que um gráfico possa representar uma função, como os dois abaixo: