Teoria Imagem

Dada a função $f(x)= \frac{2x + 3}{x} $, vamos determinar o conjunto imagem $I_{m}$.

Vamos lá !

Primeiro, vamos substituir $f(x)$ por $y$ na função dada,

\begin{align}
y &= \frac{2x + 3}{x}
\end{align}

Agora, vamos isolar a variável $x$ e analisar para quais valores de $y$ a função existe:

\begin{align}
y \cdot x &= 2x + 3 \\
y \cdot x – 2x &=3 \\
x \cdot (y – 2) &=3 \\
x&= \frac{3}{y – 2}
\end{align}

Para encontrarmos o conjunto $I_{m} $, precisamos analisar a condição de existência da função acima:

\begin{align}
y – 2 &\ne 0 \\
y &\ne 2
\end{align}

Portanto,\begin{align}
I_{m} &= \{\ y \in \mathbb{R} /y \ne 2\}\
\end{align}