Teoria Determinante

Lembre-se que, para um $n\geq 2$, uma matriz de Vondermond $n\times n$ é uma matriz na forma

$$ A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & \dots & 1\\
x_1 & x_2 & \dots & x_{n} \\
x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1}\\
\end{bmatrix}.
$$

O determinante de uma matriz de Vondemond é

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \dots & 1\\
x_1 & x_2 & \dots & x_{n} \\
x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1}\\
\end{vmatrix} = \prod_{1\leq i < j\leq n} (x_{j} – x_{i}) =\\[5 em]
(x_n – x_1)(x_n – x_2)\dots (x_n – x_{n-1})(x_{n-1} – x_1)\dots (x_{n-1} – x_{n-2})\dots (x_{2} – x_1)
$$

Considere a matriz $2\times 2$

$$ A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\ a & b
\end{bmatrix}
$$
Então, usando a regra de Sarrus,
$$\det A = b – a.$$

Se $B$ é a matriz de Vandermonde $3\times 3$

$$ A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{bmatrix},
$$

Então, usando a regra de Sarrus,
$$
\det B = -a^2b -b^2c -ac^2 + bc^2 + a^2c + ab^2 = $$

$$bc^2 – ac^2 – \color{red}{abc} + a^2c – b^2c + \color{red}{abc} +ab^2 – a^2b = $$

$$c^2(b-a) – ac(b-a) – bc(b-a) + ab(b-a) = $$

$$c(c-a)(b-a) – b(c-a)(b-a) = (c-b)(c-a)(b-a).$$