Teoria Determinante

Considere uma matriz quadrada $A$. Se $\det A \neq 0$ então dizemos que $A$ possui inversa ou é invertível.

A matriz inversa de $A$ é representada como $A^{-1}$ e possui a seguinte propriedade:

$$A \cdot A^{-1} = I$$
$$A^{-1} \cdot A = I$$

Ou seja, é a matriz que quando multiplicada por $A$ resulta na matriz identidade (elemento neutro da multiplicação).

Existem várias maneiras de determinar os elementos desta matriz inversa, vamos mostrar algumas.

Através da propriedade da matriz inversa podemos montar um sistema para calcular seus termos. De maneira geral, para inverter uma matriz de ordem $n$ são necessários $n$ sistemas $n \times n$.

Vamos mostrar um exemplo de como inverter uma matriz $3 \times 3$ utilizando este método.

Considere a seguinte matriz:

$$A = \begin{pmatrix}
2 & -2 & 2 \\
2 & 0& 3 \\
1 &0 & 2
\end{pmatrix}$$

E a matriz inversa $A^{-1}$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix}$$

Agora podemos escrever a seguinte equação:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Trocando pelas matrizes:

$$ \begin{pmatrix}
2 & -2 & 2 \\
2 & 0& 3 \\
1 &0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

E agora fazemos a multiplicação de matrizes:

$$\begin{pmatrix}
(2a- 2b + 2c ) & (2d- 2e + 2f ) & (2g- 2h + 2i ) \\
(2a + 0 + 3c) & (2d + 0 + 3f) & (2g + 0 + 3i) \\
(a + 0 + 2c) & (d + 0 + 2f) & (g + 0 + 2i)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Perceba que cada uma das colunas desta matriz forma um sistema $3 \times 3$; vamos resolver o da primeira coluna:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2a- 2b + 2c &=& 1 \\
2a + 0 + 3c &=& 0 \\
a + 0 + 2c &=& 0
\end{array} \right.$$

Isolamos o $a$ na terceira equação:

$$a=- 2c$$

E substituímos na segunda equação:

$$2(- 2c) + 3c = 0 \\ -4c + 3c = 0 \\ – c = 0 \\ c = 0$$

Podemos voltar e calcular o $a$:

$$a = – 2c \\ a = -2 \cdot 0 \\ a = 0$$

E agora trocamos na primeira:

$$2 \cdot 0- 2b + 2 \cdot 0 = 1 \\ – 2b = 1 \\ b = – \dfrac{1}{2}$$

Já temos a primeira coluna da nossa matriz inversa! Agora basta resolver os outros sistemas:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2d- 2e + 2f &=& 0 \\
2d + 0 + 3f &=& 1 \\
d + 0 + 2f &=& 0
\end{array} \right.$$

Isolamos $d$ na terceira equação:

$$d =- 2f$$

E substituímos na segunda equação:

$$2(- 2f) + 3f = 1 \\- 4f + 3f = 1 \\- f = 1 \\ f =- 1$$

Agora podemos calcular $d$:

$$d =- 2 (-1) \\ d = 2$$

Vamos trocá-los na primeira equação:

$$2 \cdot 2- 2e + 2 \cdot (-1) = 0 \\
4- 2e- 2 = 0 \\
2 = 2e \\ e = 1$$

Agora só falta o terceiro sistema:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2g- 2h + 2i &=& 0 \\
2g + 0 + 3i &=& 0 \\
g + 0 + 2i &=& 1
\end{array} \right.$$

Vamos isolar $g$ na terceira equação:

$$g= 1- 2i$$

E substituir na segunda:

$$2(1- 2i) + 3i = 0 \\ 2- 4i + 3i = 0 \\- i =- 2 \\ i = 2$$

Agora voltamos e calculamos $g$

$$g = 1- 2 \cdot 2 \\ g = 1- 4 \\ g =- 3$$

Levando estes resultados na primeira equação teremos:

$$2 \cdot (- 3)- 2 \cdot h + 2 \cdot (2) = 0 \\
- 6- 2h + 4 = 0 \\- 2 = 2h \\ h =- 1$$

Agora é só substituir na matriz $A^{-1}$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 2 &- 3 \\
- \frac{1}{2} & 1 &- 1 \\
0 &- 1 & 2
\end{pmatrix}$$

Vamos considerar a seguinte matriz:

$$A =
\begin{bmatrix}
a & b \\ c & d
\end{bmatrix}
$$

Se a matriz $A$ admite inversa, então deve existir uma matriz $A^{-1}$

$$ A^{-1} =
\begin{bmatrix}
x & y \\ w & z
\end{bmatrix},
$$

De tal maneira que:

$$AA^{-1} = A^{-1}A = \operatorname{I}_2 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}.$$

Veja que
$$AA^{-1} =
\begin{bmatrix}
ax + bw & ay + bz \\ cx + dw & cy + dz
\end{bmatrix},
$$
enquanto
$$
A^{-1}A =
\begin{bmatrix}
ax + cy & bx + dy \\ aw + cz & bw + dz.
\end{bmatrix}
$$

Impondo a condição $AA^{-1} = A^{-1}A = \operatorname{I}_2$, obtemos o seguinte sistema de equações nas variáveis $x,y,w$ e $z$:

\begin{cases}
ax + bw &= 1\\
ay + bz & = 0\\
cx + dw & = 0\\
cy + dz & = 1 \\
ax + cy & = 1 \\
bx + dy & = 0 \\
aw + cz & = 0 \\
bw + dz & = 1.
\end{cases}

Resolvendo esse sistema, obtém-se as fórmulas para os termos da matriz inversa:

$$x = \frac{d}{ad-bc}, \;\; y =\frac{-b}{ad-bc},\;\; \\ \; \\ w = \frac{-c}{ad-bc}\;\;\text{ e }\;\; z = \frac{a}{ad-bc}.$$

Uma matriz $n\times n$ $A$ admite inversa se, e somente se, $\det A\neq 0$. Nesse caso, a inversa é dada por

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot C^t,$$

onde $C^t$ é a matriz transposta da matriz dos cofatores de $A$, também conhecida como matriz adjunta.

• Seja
  $$
  B =
  \begin{bmatrix}
  3 & -2 & 0 \\
  1 & 4 & -1 \\
  \frac{1}{3} & 6 & 1
  \end{bmatrix}
  $$
  Então, usando a regra de Sarrus,
  $$\det B = 0 + 18 + 2 + 12 + \frac{2}{3} + 0 = \frac{98}{3}\neq 0.$$
  Assim, $B$ possi inversa. Calculando a matriz dos cofatores de $B$, temos que

$$C =
\begin{bmatrix}
10 & – \frac{ 4}{3} & \frac{14}{3} \\
2 & 3 & – \frac{56}{3} \\
2 & 3 & 14
\end{bmatrix}.
$$
Logo, a matriz inversa de $B$ é
$$
B^{-1} = \frac{3}{98}
\begin{bmatrix}
10 & 2 & 2 \\
– \frac{4}{3} & 3 & 3 \\
\frac{14}{3} & – \frac{56}{3} & 14
\end{bmatrix} = \frac{1}{7}
\begin{bmatrix}
\frac{15}{7} & \frac{3}{7}& \frac{3}{7} \\
– \frac{2}{7} & \frac{9}{14}& \frac{9}{14} \\
1 & – 4 & 3
\end{bmatrix}
$$

Considere a matriz
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b \\ c & d
\end{bmatrix}
$$
Então, a matriz dos cofatores de $A$ é dada por
$$C =
\begin{bmatrix}
d & c \\ b & a
\end{bmatrix},
$$

onde precisamos considerar sua transposta

$$C^{t} =
\begin{bmatrix}
d & b \\ c & a
\end{bmatrix}
$$
Logo,
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot
\begin{bmatrix}
d & b \\ c & a
\end{bmatrix}
$$