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Matriz inversa

Considere uma matriz quadrada $A$. Se $\det A \neq 0$ então dizemos que $A$ possui inversa ou é invertível.

A matriz inversa de $A$ é representada como $A^{-1}$ e possui a seguinte propriedade:

$$A \cdot A^{-1} = I$$
$$A^{-1} \cdot A = I$$

Ou seja, é a matriz que quando multiplicada por $A$ resulta na matriz identidade (elemento neutro da multiplicação).

Existem várias maneiras de determinar os elementos desta matriz inversa, vamos mostrar algumas.

9.1

Como inverter uma matriz - sistema

Através da propriedade da matriz inversa podemos montar um sistema para calcular seus termos. De maneira geral, para inverter uma matriz de ordem $n$ são necessários $n$ sistemas $n \times n$.

Vamos mostrar um exemplo de como inverter uma matriz $3 \times 3$ utilizando este método.

Considere a seguinte matriz:

$$A = \begin{pmatrix}
2 & -2 & 2 \\
2 & 0& 3 \\
1 &0 & 2
\end{pmatrix}$$

E a matriz inversa $A^{-1}$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix}$$

Agora podemos escrever a seguinte equação:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Trocando pelas matrizes:

$$ \begin{pmatrix}
2 & -2 & 2 \\
2 & 0& 3 \\
1 &0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

E agora fazemos a multiplicação de matrizes:

$$\begin{pmatrix}
(2a- 2b + 2c ) & (2d- 2e + 2f ) & (2g- 2h + 2i ) \\
(2a + 0 + 3c) & (2d + 0 + 3f) & (2g + 0 + 3i) \\
(a + 0 + 2c) & (d + 0 + 2f) & (g + 0 + 2i)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Perceba que cada uma das colunas desta matriz forma um sistema $3 \times 3$; vamos resolver o da primeira coluna:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2a- 2b + 2c &=& 1 \\
2a + 0 + 3c &=& 0 \\
a + 0 + 2c &=& 0
\end{array} \right.$$

Isolamos o $a$ na terceira equação:

$$a=- 2c$$

E substituímos na segunda equação:

$$2(- 2c) + 3c = 0 \\ -4c + 3c = 0 \\ – c = 0 \\ c = 0$$

Podemos voltar e calcular o $a$:

$$a = – 2c \\ a = -2 \cdot 0 \\ a = 0$$

E agora trocamos na primeira:

$$2 \cdot 0- 2b + 2 \cdot 0 = 1 \\ – 2b = 1 \\ b = – \dfrac{1}{2}$$

Já temos a primeira coluna da nossa matriz inversa! Agora basta resolver os outros sistemas:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2d- 2e + 2f &=& 0 \\
2d + 0 + 3f &=& 1 \\
d + 0 + 2f &=& 0
\end{array} \right.$$

Isolamos $d$ na terceira equação:

$$d =- 2f$$

E substituímos na segunda equação:

$$2(- 2f) + 3f = 1 \\- 4f + 3f = 1 \\- f = 1 \\ f =- 1$$

Agora podemos calcular $d$:

$$d =- 2 (-1) \\ d = 2$$

Vamos trocá-los na primeira equação:

$$2 \cdot 2- 2e + 2 \cdot (-1) = 0 \\
4- 2e- 2 = 0 \\
2 = 2e \\ e = 1$$

Agora só falta o terceiro sistema:

$$ \left \{ \begin{array}{l c c}
2g- 2h + 2i &=& 0 \\
2g + 0 + 3i &=& 0 \\
g + 0 + 2i &=& 1
\end{array} \right.$$

Vamos isolar $g$ na terceira equação:

$$g= 1- 2i$$

E substituir na segunda:

$$2(1- 2i) + 3i = 0 \\ 2- 4i + 3i = 0 \\- i =- 2 \\ i = 2$$

Agora voltamos e calculamos $g$

$$g = 1- 2 \cdot 2 \\ g = 1- 4 \\ g =- 3$$

Levando estes resultados na primeira equação teremos:

$$2 \cdot (- 3)- 2 \cdot h + 2 \cdot (2) = 0 \\
- 6- 2h + 4 = 0 \\- 2 = 2h \\ h =- 1$$

Agora é só substituir na matriz $A^{-1}$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 2 &- 3 \\
- \frac{1}{2} & 1 &- 1 \\
0 &- 1 & 2
\end{pmatrix}$$

9.2

Fórmula para inverter matrizes 2x2

Vamos considerar a seguinte matriz:

$$A =
\begin{bmatrix}
a & b \\ c & d
\end{bmatrix}
$$

Se a matriz $A$ admite inversa, então deve existir uma matriz $A^{-1}$

$$ A^{-1} =
\begin{bmatrix}
x & y \\ w & z
\end{bmatrix},
$$

De tal maneira que:

$$AA^{-1} = A^{-1}A = \operatorname{I}_2 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}.$$

Veja que
$$AA^{-1} =
\begin{bmatrix}
ax + bw & ay + bz \\ cx + dw & cy + dz
\end{bmatrix},
$$
enquanto
$$
A^{-1}A =
\begin{bmatrix}
ax + cy & bx + dy \\ aw + cz & bw + dz.
\end{bmatrix}
$$

Impondo a condição $AA^{-1} = A^{-1}A = \operatorname{I}_2$, obtemos o seguinte sistema de equações nas variáveis $x,y,w$ e $z$:

\begin{cases}
ax + bw &= 1\\
ay + bz & = 0\\
cx + dw & = 0\\
cy + dz & = 1 \\
ax + cy & = 1 \\
bx + dy & = 0 \\
aw + cz & = 0 \\
bw + dz & = 1.
\end{cases}

Resolvendo esse sistema, obtém-se as fórmulas para os termos da matriz inversa:

$$x = \frac{d}{ad-bc}, \;\; y =\frac{-b}{ad-bc},\;\; \\ \; \\ w = \frac{-c}{ad-bc}\;\;\text{ e }\;\; z = \frac{a}{ad-bc}.$$

9.3

Como inverter uma matriz - matriz adjunta

Uma matriz $n\times n$ $A$ admite inversa se, e somente se, $\det A\neq 0$. Nesse caso, a inversa é dada por

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot C^t,$$

onde $C^t$ é a matriz transposta da matriz dos cofatores de $A$, também conhecida como matriz adjunta.

9.4

Exemplo 1: matriz adjunta

  • Seja
    $$
    B =
    \begin{bmatrix}
    3 & -2 & 0 \\
    1 & 4 & -1 \\
    \frac{1}{3} & 6 & 1
    \end{bmatrix}
    $$
    Então, usando a regra de Sarrus,
    $$\det B = 0 + 18 + 2 + 12 + \frac{2}{3} + 0 = \frac{98}{3}\neq 0.$$
    Assim, $B$ possi inversa. Calculando a matriz dos cofatores de $B$, temos que

$$C =
\begin{bmatrix}
10 & – \frac{ 4}{3} & \frac{14}{3} \\
2 & 3 & – \frac{56}{3} \\
2 & 3 & 14
\end{bmatrix}.
$$
Logo, a matriz inversa de $B$ é
$$
B^{-1} = \frac{3}{98}
\begin{bmatrix}
10 & 2 & 2 \\
– \frac{4}{3} & 3 & 3 \\
\frac{14}{3} & – \frac{56}{3} & 14
\end{bmatrix} = \frac{1}{7}
\begin{bmatrix}
\frac{15}{7} & \frac{3}{7}& \frac{3}{7} \\
– \frac{2}{7} & \frac{9}{14}& \frac{9}{14} \\
1 & – 4 & 3
\end{bmatrix}
$$

9.5

Exemplo 2: caso geral 2x2

Considere a matriz
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b \\ c & d
\end{bmatrix}
$$
Então, a matriz dos cofatores de $A$ é dada por
$$C =
\begin{bmatrix}
d & c \\ b & a
\end{bmatrix},
$$

onde precisamos considerar sua transposta

$$C^{t} =
\begin{bmatrix}
d & b \\ c & a
\end{bmatrix}
$$
Logo,
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot
\begin{bmatrix}
d & b \\ c & a
\end{bmatrix}
$$