Teoria Determinante

A Regra de Sarrus que vimos para determinantes $2 \times 2$ e $3 \times 3$ não funciona para matrizes de ordem superior.

Entretanto, para qualquer matriz podemos utilizar o Teorema de Laplace: em uma matriz $A_{n \times n}$ escolhemos uma linha $i$ OU uma coluna $j$; então:
$$\det A = a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + … + a_{in} \cdot A_{in} \quad \text{OU}$$

$$\det A = a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + … + a_{nj} \cdot A_{nj}
$$

Em outras palavras, para calcular o determinante de uma matriz multiplicamos os elementos de uma linha pelos seus respectivos cofatores e somamos estes resultados.

Visualmente, em uma matriz $4 \times 4$ podemos escolher, por exemplo, a 2ª linha:
$$\begin{array}{| c c c c |}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
\color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}} & \color{blue}{a_{23}} & \color{blue}{a_{24}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} + a_{24} \cdot A_{24}$$

Ou então escolher a 4ª coluna:

$$\begin{array}{| c c c c |}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{red}{a_{14}} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{red}{a_{24}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{red}{a_{34}} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \color{red}{a_{44}} \\
\end{array} = a_{14} \cdot A_{14} + a_{24} \cdot A_{24} + a_{34} \cdot A_{34} + a_{44} \cdot A_{44}$$

Geralmente escolhemos uma linha ou uma coluna com muitos elementos nulos, assim não é necessário calcular todos os cofatores.

Observe como utilizar o Teorema de Laplace para calcular o determinante da matriz abaixo:
$$A = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 5 & 2 & 0
\end{pmatrix}$$

Iremos escolher a 2ª linha, pois ela possui dois zeros. Desta maneira:

$$A = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 2 & -1 \\
\color{red} 0 & \color{red} 2 & \color{red} 0 & \color{red} 1 \\
2 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 5 & 2 & 0
\end{pmatrix}$$

\begin{align}
\det A &= 0 \cdot A_{21} + 2 \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{23} + 1 \cdot A_{24} \\
&= 2 \cdot A_{22} + A_{24}
\end{align}

Então é preciso calcular dois cofatores:

$$A_{22} = \begin{array}{| c c c |}
- 3 & 2 & – 1 \\
2 & 0 & 1 \\
- 1 & 2 & 0
\end{array} = 0- 2- 4 + 0 + 6 + 0 = 0 $$

$$A_{24} = \begin{array}{| c c c |}
- 3 & 1 & 2 \\
2 & – 1 & 0 \\
- 1 & 5 & 2
\end{array} = 6 + 0 + 20 -2 + 0 – 4 = 20$$

Portanto:

$$\det A = 2 \cdot 0 + 20 = 20$$