Teoria Determinante

A regra de Chió é utilizada para reduzir o grau de um determinante de ordem $n$ para um de grau $n-1$. Ela se baseia no Teorema de Jacobi e pode ser utilizada quando o termo de posição $a_{11}$ vale $1$.

Utilizaremos como exemplo uma matriz $A_{4 \times 4}$, mas a ideia é a mesma para outras dimensões.

$$\det A = \begin{array}{|c c c c|}
1 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}$$

O primeiro passo é multiplicar a coluna $1$ pelo termo $a_{12}$ e subtrair este resultado da coluna $2$. Desta maneira o termo de posição $a_{12}$ passará a ser nulo:
$$\begin{array}{|c c c c|}
1 & a_{12} – a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} – a_{21} \cdot {a_{12}}& a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} – a_{31} \cdot a_{12}& a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} – a_{41} \cdot a_{12} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array} = \begin{array}{|c c c c|}
1 & 0 & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} – a_{21} \cdot {a_{12}}& a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} – a_{31} \cdot a_{12}& a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} – a_{41} \cdot a_{12} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array}$$

Repetindo o procedimento para a terceira e a quarta colunas teremos:

\begin{array}{|c c c c|}
1 & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} – a_{21} \cdot {a_{12}}& a_{23} – a_{21} \cdot a_{13}& a_{24} – a_{21} \cdot a_{14}\\
a_{31} & a_{32} – a_{31} \cdot a_{12}& a_{33} – a_{31} \cdot a_{13} & a_{34} – a_{31} \cdot a_{14} \\
a_{41} & a_{42} – a_{41} \cdot a_{12} & a_{43} – a_{41} \cdot a_{13} & a_{44} – a_{41} \cdot a_{14} \\
\end{array}

Utilizando o Teorema de Laplace para a primeira linha, o determinante será apenas o cofator $A_{11}$:
$$\det A = \begin{array}{|c c c|}
a_{22} – a_{21} \cdot {a_{12}}& a_{23} – a_{21} \cdot a_{13}& a_{24} – a_{21} \cdot a_{14}\\
a_{32} – a_{31} \cdot a_{12}& a_{33} – a_{31} \cdot a_{13} & a_{34} – a_{31} \cdot a_{14} \\
a_{42} – a_{41} \cdot a_{12} & a_{43} – a_{41} \cdot a_{13} & a_{44} – a_{41} \cdot a_{14} \\
\end{array}$$

Ou seja, transformamos um determinante de ordem $4$ em outro equivalente, mas de ordem $3$.

Observação

Caso o termo de posição $a_{11}$ não seja $1$, podemos utilizar as propriedades do determinante (troca de linhas, multiplicação por um número etc) para forçar que ele seja $1$.

Iremos utilizar a regra de Chió para reduzir o grau do determinante abaixo:
$$\det A = \begin{array}{|c c c c|}
-2 & -1 & 0 & 3 \\
3 & 2 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 2 & 3\\
-2 & 2 & 0 & 1
\end{array}$$

Primeiro repare que o termo de posição $a_{11}$ não é $1$ , então utilizaremos algumas trocas de linhas e colunas para que o elemento $a_{44} = 1$ chegue à posição $a_{11}$.

Repare que com duas trocas o sinal do determinante mudou duas vezes, ou seja, não se alterou.

Agora, acompanhe passo-a-passo a regra de Chió sendo utilizada para construir a nova coluna $2$. Outros elementos serão omitidos para facilitar a visualização.

1.O primeiro elemento será $0$.

2. Para encontrar o segundo elemento, multiplicamos $a_{21}$ por $a_{12}$ e subtraímos de $a_{22}$:

$$2 – 2 \cdot 0 = 2$$

3. Para encontrar o terceiro elemento, multiplicamos $a_{31}$ por $a_{12}$ e subtraímos de $a_{32}$:

$$0 – 2 \cdot 3 = -6$$

4. Para encontrar o quarto elemento, multiplicamos $a_{41}$ por $a_{12}$ e subtraímos de $a_{42}$:

$$-1 – 2 \cdot 3 = -7$$

5. Agora, para construirmos a terceira e a quarta colunas, utilizaremos os termos $a_{13} = 0$ e $a_{14} = -2$ como pivôs, respectivamente.
Esta etapa não será feita passo-a-passo, mas observe como ficam as operações:

6. Resolvendo as operações pendentes, teremos o determinante $4 \times 4$, que em seguida será convertido em um $3 \times 3$.

$$\begin{array}{|c c c c|}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
3 & -6 & 2 & 10 \\
3 & -7 & 0 & 4
\end{array} = \begin{array}{|c c c|}
2 & 1 & 3 \\
-6 & 2 & 10 \\
-7 & 0 & 4
\end{array}$$

7. Agora podemos calcular o determinante utilizando a regra de Sarrus:

$$\begin{array}{|c c c|}
2 & 1 & 3 \\
-6 & 2 & 10 \\
-7 & 0 & 4
\end{array} = \begin{array}{c}
(16 -70 + 0) – (-42 + 0 -24) = \\
- 54 – (-66) =\\
-54 + 66 =\\
12
\end{array}$$