Teoria Divisibilidade

Mesmo quando um número $m$ não é divisível por um número $n$, ainda há conclusões a serem tiradas a partir do resto $r$ que aparece na divisão dos dois números.

Considere dois números naturais $m$ e $n$ tais que $m > n$, $m$ não é múltiplo de $n$. Podemos escrever a expressão correspondente à divisão de $m$ por $n$ da seguinte forma:
$$m = q \cdot n + r$$em que $q$ é o quociente e $0< r < n $ é o resto.

No algoritmo da divisão esses elementos são distribuídos da seguinte forma:

Voltando à expressão, iremos subtraindo $r$ dos dois lados da igualdade:
$$m – r = q \cdot n+ r – r \\ m – r = q \cdot n$$ Isto é, $(m-r)$ é divisível por $n$.

Na divisão de $145$ por $7$ o quociente é $20$ resto é $5$.
Observe que $145 – 5 = 140$ que é divisível por $7$.

Na divisão de $1888$ por $9$ o quociente é $209$ e o resto é $7$.
Observe que $1888-7 = 1881$ que é divisível por $9$.

Na divisão de $5000$ por $6$ o quociente é $833$ e o resto é $2$.
Observe que $5000 – 2 = 4998$ é divisível por $6$.