Teoria Dízima periódica

Apresentaremos o método passo-a-passo para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica utilizando equações com um exemplo.

Considere o número $14,15252…$. Ele é uma dízima composta, pois o período é $52$ e há o número $1$ entre ele e a vírgula.

1. Identifique a dízima como uma incógnita.
$x = 14,15252…$

2. Multiplique os dois lados da equação por uma potência de $10 \; (10, 100, 1000, …)$ de maneira que o número torne-se uma dízima periódica simples. Neste caso só precisamos mover a vírgula $1$ casa para a direita, então multiplicamos por $10$:

\begin{align}
10 \cdot x &= 10 \cdot 14,15252… \\
10 x & = 141,5252… \qquad (I)
\end{align}

3. Multiplique novamente a expressão por uma potência de $10$, onde o expoente será o número de dígitos do período. No caso, $52$ é o período e ele possui $2$ dígitos, então multiplicaremos por $10^2 = 100$.

\begin{align}
10x &= 141,5252… \\
100 \cdot (10 x) & = 100 \cdot 141,5252… \\
1000 x & = 14152,5252… \qquad (II)
\end{align}

4. Subtraia a equação $I$ (dízima simples) da equação $II$ (dízima “empurrada”) e resolva-a. Repare que ao subtrair as dízimas a parte infinita é anulada.

\begin{align}
1000 x – 10x &= 14152,5252… – 141,5252… \\
990 x & = 14011 \\
x & = \displaystyle \frac{14011}{990}
\end{align}

Como a dízima periódica já é simples, basta multiplicarmos a expressão inicial por $10^3=1000$, pois o período possui $3$ dígitos.

\begin{align}
x & = 0,\overline{123} & (I)\\
\\
1000 \cdot x &= 1000 \cdot 0,\overline{123} \\
1000 x &= 123,\overline{123} & (II)\\
\end{align}
\begin{align}
&(II) -(I) &\Rightarrow 1000x – x &= 123,\overline{123} – 0,\overline{123} \\
& & 999x &= 123 \\
& & x &= \frac{123}{999}
\end{align}

Neste caso, a dízima periódica é composta. Iremos multiplicar a expressão inicial por $10$ para torná-la simples:

\begin{align}
x &= 30,5666… \\
10 \cdot x &= 10 \cdot 30,5666… \\
10 x &= 305,666… & (I)\\
\end{align}

Agora, multiplicamos novamente por $10^1 = 10$, pois o período possui $1$ dígito.

\begin{align}
10 \cdot (10x) &= 10 \cdot 305,666… \\
100x &= 3056,666… &(II)
\end{align}

Fazemos a subtração $II – I$ pois desta maneira a parte infinita é anulada e podemos resolver a equação:

\begin{align}
&(II) -(I) &\Rightarrow 100x – 10x &= 3056,666… – 305,666… \\
& & 90x &= 2751\\
& & x &= \frac{2751}{90}^{\div 3}_{\div 3} = \frac{917}{30}
\end{align}