Teoria Dízima periódica

O estudo das dízimas periódicas está diretamente relacionado à transformação de frações em números decimais. Algumas frações originam divisões de quociente infinito, como pode ser visto nos exemplos abaixo.

$\displaystyle \frac{1}{3} \Rightarrow
\begin{array}{c l}
& 1 0 & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \; 3 \quad} \\
& \hspace{-0.1cm} \underline{- 9} & 0,33… \\
& 0 1 0 & \\
& \hspace{0.15cm} \underline{- 9} & \\
& \hspace{0.3cm}0 1
\end{array}
$

$\displaystyle \frac{1}{3} = 0,33… = 0,\overline{3}$

$\displaystyle \frac{140}{9} \Rightarrow
\begin{array}{c l}
& 1 40 & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \; 9 \quad} \\
& \hspace{-0.1cm} \underline{- 9} & 14,14… \\
& 0 5 0 & \\
& \hspace{-0.1cm}\underline{- 36} & \\
& \hspace{0.3cm}1 4 & \\
& \hspace{0.2cm} \underline{- 9} & \\
& \hspace{0.6cm}5 0 & \\
& \hspace{0.2cm} \underline{- 36} & \\
& \hspace{0.65cm}14
\end{array}
$

$\displaystyle \frac{140}{9} = 14,1414… = 14,\overline{14}$

As frações $ \displaystyle \frac{1}{3}$ e $\displaystyle \frac{140}{9}$ são denominadas frações geratrizes das dízimas $0,\overline{3}$ e $14,\overline{14}$, respectivamente.

Certos métodos nos permitem encontrar a fração geratriz de qualquer dízima periódica, pois toda dízima periódica possui uma fração geratriz.