Teoria Equação modular

Quando uma equação modular tem o formato abaixo:

$$ax^2 + b|x| + c = 0,$$

é necessário utilizar uma variável auxiliar. Deve-se fazer a seguinte substituição:

$$y = |x|$$

Desta forma, o $x^2$ será substituído por $y^2$, pois:

$$y = |x| \\ y^2 = |x|^2 \\ y^2 = x^2$$

A seguir, as soluções $y_1$ e $y_2$ são encontradas e levadas à fórmula da substituição para que sejam encontradas as soluções em $x$:

$$|x| = y_1 \quad \text{ou} \quad |x| = y_2$$

Iremos substituir $|x| = y$. Desta maneira $x^2$ é substituído por $y^2$.

\begin{align}
& 2y^2- 9y + 4 = 0 \\
\\
\Delta &= (-9)^2- 4 \cdot 2 \cdot 4 \\
\Delta &= 81- 32\\
\Delta &= 49 \\
\\
y &= \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \\
y &= \dfrac{9 \pm 7}{4}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
y_1 &=& \dfrac{9 + 7}{4} = \dfrac{16}{4} = 4 \\
y_2 &=& \dfrac{9- 7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
\end{array}

Portanto há dois caminhos:

I) $$|x| = 4 \\ x = 4 \quad \text{ou} \quad x =- 4$$

II) $$|x| = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{ou} \quad x =- \dfrac{1}{2}$$

Assim, o conjunto solução será:

$$S = \left \{ -4, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 4 \right \}$$

É necessário fazer a substituição $|x| = y$; assim, $x^2$ é trocado por $y^2$:

\begin{align}
&y^2- 4y- 5 =0 \\
\\
\Delta &= (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5) \\
\Delta &= 16 + 20 \\
\Delta &= 36 \\
\\
y &= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\
y &= \dfrac{4 \pm 6}{2}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
y_1 &=& \dfrac{4 + 6}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \\
y_2 &=& \dfrac{4- 6}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1
\end{array}

Portanto, há duas opções:

I) $$|x| = 5 \\ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = – 5$$

II) $$|x| = -1 \\ \text{Equação impossível}$$

Portanto, a solução da equação é:

$$S = \{-5, 5\}$$

Primeiro, substituímos $|x| = y$; desta maneira $x^2$ é substituído por $y^2$.

\begin{align}
&3y^2 +10y + 3 = 0
\\
\Delta &= 10^2 – 4 \cdot 3 \cdot 3 \\
\Delta &= 100 – 36 \\
\Delta &= 64 \\
\\
y &= \dfrac{-10 \pm \sqrt {64}}{2 \cdot 3}\\
y &= \dfrac{-10 \pm 8}{6}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
y_1 &= \dfrac{- 10 + 8 }{6} = \dfrac{-2}{6} = – \dfrac{1}{3} \\
y_2 &= \dfrac{- 10- 8}{6} = \dfrac{-18}{6} = -3
\end{array}

Ambas as soluções de $y$ são negativas, portanto não haverá soluções em $x$.

I)

$$|x| = -\dfrac{1}{3} \\ \text{Equação impossível}$$

II)

$$|x| = -3 \\ \text{Equação impossível}$$

Portanto,

$$S = \varnothing$$