Teoria Equação modular

Quando trabalhamos com $|f(x)| = g(x)$, devemos ter o cuidado de restringir as soluções para o intervalo onde $g(x) \geq 0$, senão elas são inválidas.

Respeitada esta restrição, as soluções são encontradas da seguinte maneira:

$$|f(x)| = g(x) \Rightarrow \\ f(x) = g(x) \quad \text{ ou } \quad f(x) = -g(x)$$

Como o módulo já está isolado em um dos membros, iremos analisar suas restrições: o que estiver no outro membro deve ser positivo.

$$5- x > 0 \\ 5 > x \\ x < 5$$

Ou seja, somente soluções menores que $5$ são válidas. Agora vamos abrir e resolver a equação em dois caminhos:

I) \begin{align}
3x + 9 &= 5- x \\
3x + x&= 5- 9 \\
4x &= -4 \\
x &=\dfrac{-4}{4} \\
x &= -1
\end{align}

II) \begin{align}
3x + 9 &= – (5- x) \\
3x +9 &= – 5 + x \\
3x- x &= – 5 – 9 \\
2x &= – 14 \\
x &= \dfrac{-14}{2} \\
x &= -7
\end{align}

As duas soluções encontradas são menores que $5$, portanto ambas são válidas.

$$S = \{ -7, -1\}$$

Primeiro, iremos isolar o módulo:

\begin{align}
|x- 3| +10 &= 3x- 11 \\
|x- 3| &= 3x- 11- 10 \\
|x- 3| &= 3x- 21\\
\end{align}

Agora, com o módulo isolado, o outro membro deve ser positivo:

$$3x -21 > 0 \\ 3x > 21 \\ x > \dfrac{21}{3} \\ x > 7$$

Portanto são válidos apenas resultados maiores que $7$. Agora abrimos a equação em dois caminhos:

I) \begin{align}
x- 3 &= 3x- 21 \\
x- 3x &= – 21+ 3 \\
- 2x &= – 18 \\
x &= \dfrac{-18}{-2} \\
x &= 9
\end{align}

II) \begin{align}
x- 3 &= – ( 3x- 21) \\
x- 3x &= – 3x + 21 \\
x + 3x &= 21 + 3 \\
4x &= 24 \\
x &= \dfrac{24}{4} = 6
\end{align}

As soluções seriam $6$ e $9$, mas são válidas apenas soluções maiores que $7$. Portanto:

$$S = \{ 9\}$$

Primeiro, podemos fazer uma multiplicação em cruz:

$$|x^2 + 3x- 5| = \dfrac{8x + 15}{3} \\
3 \cdot |x^2 + 3x- 5| = 8x + 15$$

Podemos distribuir o $3$ dentro do módulo pois ele é positivo:

$$3 \cdot |x^2 + 3x- 5| = 8x + 15 \\
|3x^2 + 9x- 15| = 8x + 15$$

Com o módulo isolado em um dos membros, a condição é de que o outro membro seja positivo:

$$8x + 15 > 0 \\ 8x > – 15 \\ x> -\dfrac{15}{8}$$

Agora, a equação parte em dois caminhos:

I) \begin{align}
&3x^2 + 9x- 15 = 8x + 15 \\
&3x^2 + 9x- 8x- 15- 15 = 0 \\
&3x^2 +x- 30 = 0 \\
\\
&\Delta = 1^2- 4 \cdot (3) \cdot (-30) \\
&\Delta = 1 + 360 \\
&\Delta = 361\\
\\
&x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 3}\\
& x = \dfrac{-1 \pm 19}{6}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{-1 + 19}{6} = \dfrac{18}{6} = 3 \\
x_2 &=& \dfrac{- 1- 19}{6} = \dfrac{-20}{6} = -\dfrac{10}{3}
\end{array}

A solução $x_1= 3 $ respeita a condição, mas $x_2 = – \dfrac{10}{3}$ não, pois é menor do que $-\dfrac{15}{8}$.

II) \begin{align}
3x^2 + 9x- 15 &= – (8x + 15) \\
3x^2 + 9x- 15 &= – 8x- 15 \\
3x^2 + 9x+ 8x- 15+ 15 &= 0 \\
3x^2 +17x &= 0 \\
x (3x + 17) &= 0 \\
x_3 &= 0 \\
&\text{ ou }\\
3x + 17 &= 0 \\
3x &=- 17 \\
x_4 &= -\dfrac{17}{3}
\end{align}

A solução $x_3 = 0$ respeita a condição, mas $x_4 = – \dfrac{17}{3}$ não, pois é menor que $-\dfrac{15}{8}$.

Portanto, a solução da equação é:

$$S = \{ 0, 3\}$$

O módulo já está isolado em um dos membros, portanto o outro membro deve ser positivo:

$$x^2- 2 > 0$$

Esta é uma inequação de 2º grau, para resolvê-la iremos analisar as raízes da equação:

$$x^2 – 2 = 0 \\ x^2 = 2 \\ x = \pm \sqrt{2}$$

Como a inequação representa uma parábola de concavidade para cima, podemos fazer o seguinte esquema de sinais:

Portanto, apenas interessam respostas no seguinte conjunto:

$$\{ x \in \mathbb{R} | x < -\sqrt 2 \text{ ou } x > \sqrt 2\}$$

Agora iremos resolver a equação propriamente dita. Lembre-se de que ela se abre em dois caminhos:

I) \begin{align}
x- 4 &= x^2 – 2 \\
x^2- 2- x + 4 &= 0 \\
x^2 -x + 2 &= 0 \\
\\
\Delta &= (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot 2 \\
\Delta &= 1 – 8 \\
\Delta &= -7
\end{align}

Como $\Delta < 0 $, este caminho não apresenta soluções reais.

II) \begin{align}
x- 4 &= – (x^2 – 2) \\
x- 4 &= – x^2 + 2 \\
x – 4 + x^2 – 2&= 0 \\
x^2 +x -6 &= 0 \\
\\
\Delta &= 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-6)\\
\Delta &= 1 + 24 \\
\Delta &= 25 \\
\\
x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{-1 \pm 5}{2}
\end{align}
\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{-1 + 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \\
x_2 &=& \dfrac{-1 – 5}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3
\end{array}

Ambas as soluções pertencem ao conjunto da condição, portanto ambas são válidas.

$$S = \{-3, 2 \}$$