Teoria Equação modular

Neste tipo de equação, não precisamos nos preocupar com casos impossíveis, pois os dois membros da equação com certeza serão positivos. Para resolver este tipo de equação basta fazer o seguinte:

$$|f(x)| = |g(x)| \Rightarrow \\
f(x) = g(x) \quad \text{ou} \quad f(x) = -g(x)$$

I) \begin{align}
x+2 &= x- 4 \\
x- x + 2 &= -4 \\
2 &= -4 \\
\text{equação}&\text{ impossível}
\end{align}

II) \begin{align}
x + 2 &= – (x- 4) \\
x + 2 &= – x + 4 \\
x + x &= 4- 2 \\
2x &= 2\\
x &= \dfrac{2}{2} \\
x &= 1
\end{align}

Portanto,

$$S = \{ 1\}$$

I)
\begin{align}
x- 3 &= x^2- 9 \\
x^2- x- 9 + 3 &= 0 \\
x^2- x- 6 &= 0\\
\\
\Delta &= (-1)^2- 4 \cdot 1 \cdot (- 6) \\
\Delta &= 1 + 24 \\
\Delta &= 25\\
\\
x &= \dfrac{- (- 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\
x & = \dfrac{1 \pm 5}{2}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \\
x_2 &=& \dfrac{1- 5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2
\end{array}

II) \begin{align}
x- 3 &= – (x^2- 9) \\
x- 3 &= – x^2 + 9 \\
x^2+ x- 9- 3 &= 0 \\
x^2+ x- 12 &= 0\\
\\
\Delta &= 1^2- 4 \cdot 1 \cdot (- 12) \\
\Delta &= 1 + 48 \\
\Delta &= 49\\
\\
x &= \dfrac{ – 1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \\
x & = \dfrac{- 1 \pm 7}{2}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_3 &=& \dfrac{-1 + 7}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \\
x_4 &=& \dfrac{-1- 7}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4
\end{array}

Observe que duas soluções são iguais $(x_3 = x_1)$, mas isto não é um problema. O conjunto solução será:

$$S = \{-4, -2, 3 \}$$