Teoria Equação modular

Agora iremos estudar os casos possíveis, isto é, quando $k \geq 0$.

Considere o seguinte exemplo:

$$|x| = 4$$

Esta equação está perguntando: “qual número possui módulo igual a $4$?”. Esta pergunta tem duas respostas: $4$ e $-4$.

$$x_1 =- 4 \qquad x_2 = 4$$

E podemos confirmar este fato:

• $|4| = 4$
• $|-4| = 4$

Então, de maneira geral, uma equação modular deste tipo “se abre em dois caminhos”:

$$|f(x)| = k \Rightarrow \\ f(x) = k \quad \text{ou} \quad f(x) = -k$$

I)
\begin{align}
2x- 1 &= 1 \\
2x &= 1 + 1 \\
2x &= 2 \\
x &= \dfrac{2}{2} \\
x &= 1
\end{align}

II)
\begin{align}
2x- 1 &= -1\\
2x &= -1 + 1 \\
2x &= 0 \\
x &= \dfrac{0}{2}\\
x &= 0
\end{align}

Portanto a solução é:

$$S = \{0, 1\}$$

Neste caso, primeiro devemos isolar o módulo:

\begin{align}
5- |x| &= 2 \\
- |x| &= 2- 5 \\
- |x| &= -3 \\
|x| &= 3
\end{align}

Agora abrimos em dois caminhos:

I) $x = 3$

II) $x = -3$

Portanto a solução é:

$$S = \{-3, 3 \}$$

O primeiro passo é isolar o módulo. Isso pode ser feito com a multiplicação em cruz:

\begin{align}
\dfrac{|3x+5|}{2} &= 5 \\
|3x + 5 | &= 2 \cdot 5 \\
|3x + 5 | &= 10
\end{align}

Agora abrimos em dois caminhos:

I) \begin{align}
3x + 5 &= 10 \\
3x &= 10- 5 \\
3x &= 5 \\
x &= \dfrac{5}{3}
\end{align}

II) \begin{align}
3x + 5 &= – 10 \\
3x &=- 10- 5 \\
3x &= – 15 \\
x &= \dfrac{-15}{3} \\
x &= -5
\end{align}

Portanto, a solução desta equação é:

$$S = \left \{ \dfrac{5}{3}, -5\right \}$$

São duas equações de 2º grau para resolver. Uma quando a função resulta em $12$ e a outra quando resulta em $-12$:

I) $$\begin{align}
&x^2 + 6x- 4 = 12 \\
&x^2 + 6x- 4- 12 = 0 \\
&x^2 + 6x-16 = 0 \\
\\
&\Delta = 6^2 – 4 \cdot 1 \cdot (- 16) \\
&\Delta = 36 + 64 \\
&\Delta = 100 \\
\\
x &= \dfrac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{- 6 \pm 10}{2}
\end{align} \Rightarrow \begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {-6 + 10 }{2 } = \dfrac {4 }{2 } =2\\
x_2 &= &\dfrac {-6 – 10 }{2 } = \dfrac {-16 }{2 } =-8
\end{array}$$

II)
$$\begin{align}
&x^2 + 6x- 4 = – 12 \\
&x^2 + 6x- 4+ 12 = 0 \\
&x^2 + 6x+8 = 0 \\
\\
&\Delta = 6^2 – 4 \cdot 1 \cdot ( 8) \\
&\Delta = 36 – 32 \\
&\Delta = 4 \\
\\
x &= \dfrac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{- 6 \pm 2}{2}
\end{align} \Rightarrow \begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {-6 + 2 }{2 } = \dfrac {-4 }{2 } =-2\\
x_2 &= &\dfrac {-6 – 2}{2 } = \dfrac {-8 }{2 } =-4
\end{array}$$

Portanto esta equação modular possui $4$ resultados:

$$S = \{-8, -4, -2, 2 \}$$

São duas equações de 2º grau para resolver. Uma quando a função resulta em $6$ e a outra quando resulta em −$6$:

I) $$\begin{align}
&x^2 – 2x- 2 = 6 \\
&x^2 – 2x- 2- 6 = 0 \\
&x^2 – 2x- 8 = 0 \\
\\
&\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (- 8) \\
&\Delta = 4 + 32 \\
&\Delta = 36 \\
\\
x &= \dfrac{- (-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{2 \pm 6}{2}
\end{align} \Rightarrow \begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {2 + 6 }{2 } = \dfrac {8 }{2 } =4\\
x_2 &= &\dfrac {2 – 6 }{2 } = \dfrac {-4 }{2 } =-2
\end{array}$$

II) $$\begin{align}
&x^2 – 2x- 2 = – 6 \\
&x^2 – 2x- 2+ 6 = 0 \\
&x^2 – 2x+4 = 0 \\
\\
&\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 \\
&\Delta = 4 – 16 \\
&\Delta = -12 \\
\end{align}$$

Como $\Delta < 0$, então este caminho não apresenta soluções reais.

Portanto:

$$S = \{ -2, 4\}$$