Teoria Mínimo múltiplo comum (MMC)

Outra maneira de determinar o mmc entre dois ou mais números é através de suas formas fatoradas.

Observe as formas fatoradas dos números $45$ e $75$, por exemplo:
\begin{align}
45 &= 3^2 \cdot 5^1 \\
75 &= 3^1 \cdot 5^2
\end{align}

O $mmc(45;75)$ será composto por todos os fatores presentes nas formas decompostas e o expoente de cada fator será o máximo dentre os expoentes daquele fator.

Na prática o que o ocorre é o seguinte:
\begin{align}
45 &= 3^{\color{red}{2}} \cdot 5^1 \\
75 &= 3^1 \cdot 5^{\color{red}{2}} \\
\hline
mmc(45;75) &= 3^{\color{red}{2}} \cdot 5^{\color{red}{2}} = 225
\end{align}

Exemplos

• $mmc(16; 35)$
  \begin{align}
  16 &= 2^4 \\
  35 &= 5^1 \cdot 7^1 \\
  \hline
  mmc(16, 35) & = 2^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 560
  \end{align}

• $mmc(15; 80)$
  \begin{align}
  15 &= \color{blue}{3^1} \cdot 5^{\color{red}{1}} \\
  80 &= \color{blue}{2^4} \cdot 5^1 \\
  \hline
  mmc(15, 80) & = \color{blue}{2^4}\cdot \color{blue}{3^1}\cdot 5^{\color{red}{1}}
  \end{align}

• $mdc(12.600; 3.750)$
  \begin{align}
  12.600 &= 2^{\color{red}{3}} \cdot 3^{\color{red}{2}} \cdot 5^2\cdot 7^1 \\
  3.750 &= 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^{\color{red}{4}} \\
  \hline
  mmc(12.600; 3.750) & = 2^{\color{red}{3}} \cdot 3^{\color{red}{2}} \cdot 5^{\color{red}{4}} \cdot 7^1 = 315.000
  \end{align}