Teoria Produtos Notáveis

Da seção sobre o cubo da soma, temos que
$$
\begin{align}
(a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = \\
& = a^3 + 3ab(a+b) + b^3.
\end{align}
$$
Dessa forma,

$$
\begin{align}
a^3 + b^3 &= (a + b)^3 – 3ab(a + b) = \\
& = (a+b)\big[ (a + b)^2 – 3ab\big] = \\
& = (a+b)\big[a^2 + 2ab + b^2 – 3ab\big] = \\
& = (a+b)(a^2 – ab + b^2).
\end{align}
$$

Analogamente, temos que
$$
\begin{align}
(a-b)^3 & = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = \\
& a^3 – b^3 – 3ab(a-b).
\end{align}
$$
Assim,
$$
\begin{align}
a^3 – b^3 &= (a-b)^3 + 3ab(a-b) = \\
& = (a-b)\big[(a-b)^2 + 3ab\big] = \\
& = (a-b)\big[a^2-2ab\; – b^2 + 3ab\big] = \\
& = (a-b)(a^2 + ab + b^2).
\end{align}
$$

Portanto, temos que

$$a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2).$$

Fique atento com a inversão de sinais no segundo parênteses!