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3

Desenvolvimento de $(a + b)^n$

Observe como desenvolver $(a+b)^n$:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n \cdot b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}\cdot b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} \cdot b^2+ … + \binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 \cdot b^{n}$$

Em outras palavras, primeiro damos todas as “$n$ potências” para o termo $a$ e vamos reduzindo de $a$ e dando para $b$ até que $b$ receba as “$n$ potências”.

Os coeficientes dos produtos são justamente os números binomiais da linha $n$ do triângulo de Pascal. É por isso que o desenvolvimento do binômio de Newton fica facilitado se conhecermos o triângulo de Pascal.

A expressão matemática do binômio de Newton pode parecer confusa a princípio. Observe nossos exemplos para entender melhor como ele funciona.

3.1

Exemplos: produtos notáveis

Observe que é possível desenvolver os produtos notáveis que você (provavelmente) já conhece através do teorema de Newton e chegar na mesma regra:

  • $\begin{align}(a+b)^2 &= \dbinom{2}{0}a^2 b^0 + \dbinom{2}{1}a^1b^1 \dbinom{2}{2}a^0 b^1 \\
    &= 1a^2 \cdot 1 + 2 ab + 1 \cdot 1 b \\
    &= a^2 + 2ab + b^2
    \end{align}$
  • $\begin{align} (a+b)^3 &= \binom{3}{0}a^3 b^0 +\binom{3}{1}a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3\\
    &= 1 \cdot a^3 \cdot 1 + 3 \cdot a^2 b + 3 a b^2 + 1 \cdot 1 \cdot b^3 \\
    &= a^3 +3 a^2b + 3ab^2 + b^3
    \end{align}$
3.2

Exemplo: $(x+3)^4$

Iremos desenvolver o binômio acima através da regra de Newton. É bom termos em mente a linha $4$ do triângulo de Pascal (lembre-se que ele começa no $0$):

\begin{array}{c c c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
\color{red}1 & \color{red}4 & \color{red}6 & \color{red}4 &\color{red} 1 \\
\end{array}

Estes serão os coeficientes dos produtos; repare como ficam as potências dos termos:

\begin{align}
(x+3)^4 &= \color{red}1 \cdot x^4 \cdot 3^0 + \color{red}4 \cdot x^3 \cdot 3^1 + \color{red}6 \cdot x^2 \cdot 3^2 + \color{red}4 \cdot x^1 \cdot 3^3 + \color{red} 1 \cdot x^0 \cdot 3^4
\end{align}

Após aplicada a regra, é só resolver as potências e as multiplicações.

\begin{align}
(x+3)^4 &= 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 3 + 6 \cdot x^2 \cdot 9 + 4 x^1 \cdot 27 + 1 \cdot x^0 \cdot 81\\
&= x^4 +12x^3 + 54 x^2 + 108 x + 81
\end{align}

3.3

Exemplo: $(2x+1)^5$

Para desenvolver este binômio é preciso da linha $5$ do triângulo de Pascal:

\begin{array}{c c c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\
\color{blue}1 &\color{blue} 5 &\color{blue}{ 10} &\color{blue}{10} &\color{blue} 5 &\color{blue} 1 \\
\end{array}

Estes serão os coeficientes dos produtos; iremos distribuir os coeficientes para o primeiro e o segundo termo. Repare que o primeiro termo é $(2x)$ e o segundo, $1$.

$$(2x+1)^5 = \color{blue}1.(2x)^5.1^0 + \color{blue}5.(2x)^4.1^1 + \color{blue}{10}.(2x)^3.1^2 + \color{blue}{10}.(2x)^2.1^3 + \color{blue}5.(2x)^1.1^4 + \color{blue}1.(2x)^0.1^5$$

Após aplicada a regra de Newton, basta resolver as potências e as multiplicações:

\begin{align}
(2x+1)^5 &= 1.32x^5.1 + 5.16x^4.1 + 10.8x^3.1 + 10.4x^2.1 + 5.(2 x) .1 + 1.1.1 \\
&= 32x^5 + 80x^4 + 80x^3 + 40x^2+10x +1
\end{align}

3.4

Exemplo: $(a^2 + a)^3$

Para desenvolver este binômio Iremos utilizar a linha $3$ do triângulo de Pascal.

\begin{array}{c c c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
\color{green} 1 &\color{green} 3 &\color{green} 3 &\color{green} 1 \\
\end{array}

Agora aplicamos a regra de Newton aos elementos do binômio: o primeiro elemento é $a^2$ e o segundo é $a$.

\begin{align}
(a^2 + a)^3 = \color{green} 1 \cdot (a^2)^3 \cdot a^0 + \color{green} 3 \cdot (a^2)^2 \cdot a^1 + \color{green} 3 \cdot (a^2)^1 \cdot a^2 + \color{green} 1 \cdot (a^2)^0 \cdot a^3
\end{align}

Agora basta resolver as potências e as multiplicações:

\begin{align}
(a^2 + a)^3 &= \color{green} 1 \cdot (a^2)^3 \cdot a^0 + \color{green} 3 \cdot (a^2)^2 \cdot a^1 + \color{green} 3 \cdot (a^2)^1 \cdot a^2 + \color{green} 1 \cdot (a^2)^0 \cdot a^3 \\
&= 1 \cdot a^6 \cdot 1 + 3 \cdot a^4 \cdot a + 3 \cdot a^2 \cdot a^2 + 1 \cdot 1 \cdot a^3 \\
&= a^6 + 3 a^5 + 3a^4 + a^3\\
\end{align}

Espcex mil vertical 1