Teoria Binômio de Newton

É possível determinar um dos termos do binômio de Newton sem desenvolver todos os elementos.

Primeiro, repare que um binômio $(a+b)^n$ possui $n+1$ termos. Assim, para algum $k$ natural entre $1$ e $n+1$, o termo $T_{k+1}$ é dado pela expressão:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n- k} \cdot b^k$$

Para expressões do tipo $(a- b)^n$ há um fator para indicar a correção do sinal.

$$T_{k+1} = (-1)^{k} \binom{n}{k} a^{n- k} \cdot b^k$$

Iremos determinar o 3º termo da expressão $(x + 2)^6$.

Como o expoente do binômio é $n = 6$, a expressão possui $7$ termos. A fórmula do termo $T_{k+1}$ é dada pela expressão:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n- k} \cdot b^k$$

Queremos o 3º termo, isto é, $T_3$. Desta maneira:

$$k+1 = 3 \Rightarrow k = 2$$

Iremos utilizar $k=2$ para obter o 3º termo; lembre-se de que $n = 6$ e que $a = x$ e $b = 2$.

\begin{align}
T_{3} &= \binom{6}{2} x^{6- 2}\cdot 2^2 \\
&= \dfrac{6 ! }{2 ! 4 !} \cdot x^4 \cdot 4 \\
&= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 ! \hspace{-0.7em}/}{2 \cdot 4 ! \hspace{-0.7em}/} \cdot 4x^4 \\
&= 15x^4
\end{align}

Obtenha o 4º termo do binômio $(2x- 5)^7$.

Lembre-se de que nos binômios do tipo $(a- b )^n$ devemos incluir o fator de correção de sinal.

$$T_{k+1} = (-1)^{k} \binom{n}{k} a^{n- k} \cdot b^k$$

Para obter o 4º termo, ou seja $T_4$, $k$ deve valer $3$ na fórmula; além disso, $n = 7$, $a = 2x$ e $b = 5$.

\begin{align}
T_4 &= (-1)^3 \binom{7}{3} (2x)^{7- 3} \cdot 5^3 \\
&= -1 \cdot \dfrac{7 !}{4 ! 3 !} (2x)^4 \cdot 125 \\
&= -1 \cdot \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 ! \hspace{-0.7em}/}{4 ! \hspace{-0.7em}/ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 16x^4 \cdot 125 \\
&= -1 \cdot \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 6}{6} \cdot 16x^4 \cdot 125 \\
&= -35 \cdot 2000 x^4 \\
&= -70\,000 x^4
\end{align}

No binômio $(x^3 + x)^5$, determine qual coeficiente acompanha $x^7$.

Primeiro, iremos trocar os valores na fórmula do termo geral; neste caso $n = 5$, $a = x^3$ e $b = x$.

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n- k} \cdot b^k \\
T_{k+1} = \binom{5}{k} {(x^3)}^{5- k} \cdot x^k$$

Tome nota: iremos utilizar as seguintes propriedades de potências para continuar desenvolvendo a expressão:

$$(a^n)^m = a^{nm} \\ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m}$$

\begin{align}
T_{k+1} &= \binom{5}{k} {(x^3)}^{5- k} \cdot x^k \\
T_{k+1} &= \binom{5}{k} x^{15- 3k} \cdot x^k \\
T_{k+1} &= \binom{5}{k} x^{15- 3k + k} \\
T_{k+1} &= \binom{5}{k} x^{15- 2k}
\end{align}

O enunciado pede o coeficiente do termo $x^7$, então queremos descobrir para qual $k$, o termo geral $x^{15- 2k}$ se torna $x^7$.

$$15- 2k = 7 \\ -2k = -15 + 7 \\ -2k = -8 \\ k = \dfrac{-8}{-2} = 4$$

Portanto, iremos calcular o termo para $k=4$:

\begin{align}
T_{4+1} &= \binom{5}{4}( x^3)^{5- 4} \cdot x^4 \\
T_{5} &= \dfrac{5 !}{4 ! 1!} (x^{3})^1 \cdot x^4 \\
T_{5} &= \dfrac{5 \cdot 4 !\hspace{-0.7em}/}{4 ! \hspace{-0.7em}/} x^3 \cdot x^4 \\
T_{5} &= 5 x^7
\end{align}

Portanto, o $x^7$ neste binômio tem coeficiente $5$.