Teoria Binômio de Newton

O desenvolvimento do binômio da diferença dos termos pode ser feita utilizando a mesma regra, sendo que o primeiro termo é $a$ e o segundo termo é $(-b)$.

Assim:

$$(a- b)^n = \binom{n}{0} a^n \cdot (-b)^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}\cdot (-b)^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} \cdot (-b)^2+ … + \binom{n}{n-1}a^{1}(-b)^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 \cdot (-b)^{n}$$

Quando a potência de $(-b)$ for par, o produto é positivo e o se a potência for ímpar, o produto é negativo.

Desta maneira é possível concluir que o desenvolvimento de $(a- b)^n$ é quase o de $(a+b)^n$, mas os sinais vão alternando, começando pelo sinal positivo.

Utilizaremos a linha $4$ do triângulo de Pascal.

\begin{array}{c c c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 4 & 6 &4 & 1 \\
\end{array}

Iremos aplicar a regra de Newton alternando os sinais, começando pelo positivo.

$$(b- 2)^4 = 1b^4 \cdot 2^0\color{red}- 4 b^3 \cdot 2 + 6 b^2 \cdot 2^2 \color{red}- 4b^1 2^3 + 1 b^0\cdot 2^4$$

Agora basta resolver as potências e as multiplicações:

\begin{align}
(b- 2)^4 &= b^4 \cdot 1- 8b^3 + 6b^2 \cdot 4 – 4b \cdot 8 + 16 \\
&= b^4- 8b^3 + 24b^2 – 32b + 16
\end{align}

\begin{align}
(3x- 2)^3 &= (3x)^3- 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 – 2^3 \\
&= 27x^3- 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 + 9x \cdot 4 – 8 \\
&= 27x^3 – 54x^2 + 36x- 8
\end{align}