Teoria Binômio de Newton

Primeiro, é preciso definir o que são os números binomiais (ou coeficientes binomiais).

Para números $n$ e $k$ naturais, sendo que $k \leq n$, definimos o binômio “n escolhe k” como sendo:

$$\binom{n}{k} = C_{n,k} = \dfrac{n !}{k ! \cdot (n-k) !}$$

Então, o binomial é apenas outra maneira de escrever uma combinação.

• $\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5 !}{2 ! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 ! \hspace{-0.7em}/}{2 \cdot 1 \cdot 3 ! \hspace{-0.7em}/} = \frac{20}{2} = 10$

• $\displaystyle \binom{7}{4} = \frac{7 !}{4 ! \cdot 3 !} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 ! \hspace{-0.7em}/}{4 ! \hspace{-0.7em}/ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$

• $\displaystyle \binom{6}{1} =\frac{6 !}{1 ! \cdot 5!} = \frac{6\cdot 5 !\hspace{-0.7em}/}{1 ! \cdot 5 !\hspace{-0.7em}/} = \frac{6}{1} = 6$

• $\displaystyle \binom{3}{0} = \dfrac{3 !}{0 ! \cdot 3 !} = \dfrac{3 !\hspace{-0.7em}/}{1 \cdot 3 !\hspace{-0.7em}/} = 1$

• $\displaystyle \binom{8}{8} = \frac{8 !}{8 ! \cdot 0 !} = \frac{8 !\hspace{-0.7em}/}{8 ! \hspace{-0.7em}/\cdot 1} = 1$

Algumas propriedades que facilitam o cálculo de binomiais. Elas valem para qualquer $n$ natural:

I) Se $k = 0$:

$$\binom{n}{0} = 1$$

II) Se $k = n$:

$$\binom{n}{n} = 1$$

III) Se $k = 1$:

$$\binom{n}{1} = n$$