Teoria Binômio de Newton

Outros tipos de binômio envolvem raízes ou frações, mas podem ser encaixados nos casos anteriores. Veja os exemplos:

Neste caso o primeiro termo é $x$ e o segundo é $\dfrac{1}{x}$. Iremos aplicar a regra de Newton e utilizar a linha $5$ do triângulo de Pascal para os coeficientes dos produtos:

\begin{align}
\left (x + \dfrac{1}{x} \right )^5 &= x^5 + 5 \cdot x^4 \cdot \left ( \dfrac{1}{x} \right )^1 + 10 \cdot x^3 \cdot \left ( \dfrac{1}{x} \right )^2 + 10 \cdot x^2 \cdot \left ( \dfrac{1}{x} \right )^3 + 5 \cdot x^1 \cdot \left ( \dfrac{1}{x} \right )^4 + \left ( \dfrac{1}{x} \right )^5 \\
&= x^5 + 5x^4 \cdot \dfrac{1}{x} + 10x^3 \cdot \dfrac{1}{x^2} + 10x^2 \cdot \dfrac{1}{x^3} + 5x \cdot \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^5} \\
&= x^5 + \dfrac{5x^4}{x} + \dfrac{10x^3}{x^2} + \dfrac{10x^2}{x^3} + \dfrac{5x}{x^4} + \dfrac{1}{x^5} \\
&= x^5 + 5x^3 + 10 x + \dfrac{10}{x} + \dfrac{5}{x^3} + \dfrac{1}{x^5}
\end{align}

Iremos utilizar a regra de Newton sendo que o primeiro elemento é $x$ e o segundo é $\sqrt x$. Os coeficientes dos produtos serão os valor da linha $4$ do triângulo de Pascal.

\begin{array}{ c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1\\
1 & 3 & 3 & 1\\
1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\
\end{array}

\begin{align}
(x + \sqrt x)^4 = 1x^4 \cdot \sqrt x^0 + 4 x^3 \cdot \sqrt x^1 + 6 x^2 \cdot \sqrt x ^2 + 4 x \cdot \sqrt x ^3 + 1 x^0 \cdot \sqrt x ^4
\end{align}

Agora basta resolver as potências (utilizando propriedades de potência e raiz) e as multiplicações.

\begin{align}
(x + \sqrt x)^4 &= x^4 \cdot 1 + 4 x^3 \cdot \sqrt x + 6 x^2 \cdot x + 4 x \cdot x \sqrt x + x^2 \\
&= x^4 + 4x^3 \sqrt x + 6 x^3 + 4x^2 \sqrt x + x^2
\end{align}