Teoria Binômio de Newton

Uma ferramenta poderosa no cálculo do binômio de Newton é o triângulo de Pascal (também chamado de triângulo aritimético), composto por números binomiais.

Ele organiza os números binomiais no formato de triângulo. Uma de suas configurações é a seguinte:

\begin{array}{ c c c c c c c c }
n=0 & \dbinom{0}{0} \\
n = 1 &\dbinom{1}{0} & \dbinom{1}{1} \\
n = 2 &\dbinom{2}{0} & \dbinom{2}{1} & \dbinom{2}{2}\\
n = 3 &\dbinom{3}{0} & \dbinom{3}{1} & \dbinom{3}{2} & \dbinom{3}{3} \\
n = 4 &\dbinom{4}{0} & \dbinom{4}{1} & \dbinom{4}{2} & \dbinom{4}{3} & \dbinom{4}{4} \\
n = 5 &\dbinom{5}{0} & \dbinom{5}{1} & \dbinom{5}{2} & \dbinom{5}{3} & \dbinom{5}{4} & \dbinom{5}{5} \\
& \vdots & & & & & & \ddots \\
n = k & \dbinom{k}{0} & \dbinom{k}{1} & \dbinom{k}{2} & & \dots& & & \dbinom{k}{k}
\end{array}
Fazendo os cálculos dos números binomiais teremos:

\begin{array}{c c c c c c c c}
1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\
\vdots & & & & & & \ddots
\end{array}

Apresentamos apenas as primeiras linhas do triângulo, mas ele é infinito. A princípio ele é definido desta maneira, mas há várias propriedades que o rodeiam que facilitam seu cálculo.

Em uma linha, termos equidistantes em relação ao centro tem o mesmo valor. Matematicamente estamos dizendo que:

$${n \choose k} = {n \choose n- k}$$

Se a soma dos “denominadores” for $n$, então eles são iguais.

Veja alguns exemplos:

$${4 \choose 1} = {4 \choose 3} = 4$$

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$${15 \choose 6} = {15 \choose 9} = 5005$$

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Olhando a 6ª linha do triângulo de Pascal, podemos perceber várias igualdades:

$$\binom{6}{1} = \binom{6}{5} \\
\binom{6}{2} = \binom{6}{4}\\
\vdots$$

É uma das principais propriedades do triângulo de Pascal, também conhecida como relação de Stifel.

Somando-se dois termos consecutivos, o resultado é o valor que fica abaixo do segundo termo. Matematicamente, a propriedade é a seguinte:

$${n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}$$

Observe alguns exemplos:

• Algebricamente

$${2 \choose 1} + {2 \choose 2} = {3 \choose 2}$$

• No triângulo de Pascal (com binômios)

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• No triângulo de Pascal (com números)

Exemplo 1

Resolver a equação $\begin{pmatrix}
10\\ 2x \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix}
10\\ x \end{pmatrix}$

Há $2$ possibilidades :

\begin{align}
2 x &= x \\
2x – x &= 0 \\
x&=0
\end{align}

ou Aplicando a Propriedade $1$ do Triângulo de Pascal quando coeficientes equidistantes dos extremos são iguais e a soma dos denominadores é igual ao numerador:

\begin{align}
2 x + x&= 10\\ \\
3x &= 10 \\ \\
x&= \frac{10}{3}
\end{align}

Como pela definição de Números Binomiais $\begin{pmatrix}
n\\ p \end{pmatrix}$, onde $p$,$n$ , $ \subset $ $\mathbb{N} $ e $p \leq n$, a solução $x= \frac{10}{3} $ não convém. Logo,

$$ S = \{0\}$$

Exemplo 2

Resolver a equação $\begin{pmatrix}
8\\ 2x – 10 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix}
8\\ x + 9 \end{pmatrix}$

Há 22 possibilidades ::

\begin{align}
2 x – 10&= x + 9 \\
x&=19
\end{align}

ou Aplicando a Propriedade $1$ do Triângulo de Pascal quando coeficientes equidistantes dos extremos são iguais e a soma dos denominadores é igual ao numerador:

\begin{align}
2 x – 10 + x + 9&= 8\\ \\
x&= 3
\end{align}

Considerando a definição de Números Binomiais $\begin{pmatrix}
n\\ p \end{pmatrix}$, onde $p$,$n$ , $ \subset $ $\mathbb{N} $ e $p \leq n$, repare que $x=19$ e $x=3$ não convêm, devido aos Números Binomiais resultantes não cumprirem as condições $p \leq n$ e $p$,$n$, $ \subset $ $\mathbb{N} $, respectivamente. Logo,

$$ S = \{ \varnothing \}$$

Exemplo 3

Resolver a equação $\begin{pmatrix}
x + 1\\ 2 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix}
x\\ 1 \end{pmatrix}$ + 6

Através da definição de Número Binomial:

$\begin{pmatrix}
n\\ p \end{pmatrix}$ =$\large \frac {n!} {p!(n – p)!}$ , onde $p$ e $n$ $ \subset $ $\mathbb{N} $ e $p \leq n$

Podemos escrever:

\begin{align}
\large \frac {x + 1!} {2!(x – 1)!} &= \large \frac {x!} {1!(x – 1)!} + 6 \\ \\
\large \frac {(x + 1)(x)(x – 1)!} {2!(x – 1)!} &= \large \frac {x(x – 1)!} {1!(x – 1)!} + 6 \\ \\
\large \frac{(x + 1)x}{2} &= x + 6 \\ \\
x^2 + x&=2x + 12 \\ \\
x^2 – x – 12 &=0
\end{align}

Resolvendo a equação do $2^{o}$ grau determinamos $x=4$ ou $x= – 3$.

Porém, a definição de Números Binomiais é feita considerando $p$ e $n$ $ \subset $ $\mathbb{N} $ e $p \leq n$ e, por isso,

$$ S = \{ 4 \}$$

A soma de todos os binomiais da linha $n$ resulta na potência $2^n$.

\begin{array}{c | c c c c c c l}
n = 0 & 1 & & & & & & \rightarrow 1 = 2^0\\
n = 1 &1 & 1 & & & & & \rightarrow 1 + 1 = 2 = 2^1\\
n = 2 &1 & 2 & 1 & & & & \rightarrow 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2\\
n = 3 &1 & 3 & 3 & 1 & & & \rightarrow 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3\\
n = 4 &1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & \rightarrow 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4
\end{array}

Matematicamente, a propriedade é traduzida como:

$${n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +\dots + {n \choose n- 1} + {n \choose n} = 2^n$$

Ou então, utilizando o somatório:

$$\sum^{n}_{k = 0} {n \choose k} = 2^n$$