Teoria Fatoração

O agrupamento é a técnica utilizada quando, a princípio, não há um único fator comum para a expressão toda.

A ideia é fazer a fatoração por fator comum em grupos separados e verificar se aparecem termos iguais para continuar o processo.

Geralmente sabemos que este processo deverá ser utilizado quando há $4$, $6$, $8$ parcelas ou mais, sempre um número par.

Exemplo:

$$xy- 3x + 2y- 6$$

Veja que o $x$ não é um fator comum de todos os termos, nem o $y$; e quando procuramos um número como fator comum, ninguém divide o $1, 3, 2$ e o $6$ ao mesmo tempo. Então vamos tentar agrupar os termos de dois em dois e procurar fatores comuns:

$$\underbrace{xy- 3x } \underbrace{+ 2y- 6 } $$

No primeiro grupo, o fator comum é o $x$; no segundo grupo, o fator comum é o número $2$:

$$x(y- 3) + 2 (y-3)$$

Agora, repare que o $(y- 3)$ aparece nos dois termos; ele será o novo fator comum:

$$(y- 3)(x+ 2)$$

$$\begin{align}
& \underbrace{a^2 + ab } \; + \; \underbrace{2a + 2b} = \\
&a(a+b) + 2(a + b) =
\end{align}$$

Neste momento, $(a+b)$ é considerado um elemento só, apesar de ser uma soma entre $a$ e $b$. Inclusive, este será o fator comum.

$$
a(a+b) + 2(a + b) = \\
= (a+b)(a+2)
$$

\begin{align}
&\underbrace{4xy + 4x^2} + y + x = \\
&4x(y+x) + (y +x) = \\
&(y + x) (4x + 1)
\end{align}