Teoria Fatoração

Uma prática comum em algumas áreas da matemática (equações quadráticas, geometria analítica etc) é o completamento de quadrados.

Esta técnica é utilizada para fatorar parcialmente expressões quadráticas que não são trinômios quadrados perfeitos. Algebricamente, o que a ténica faz é a seguinte transformação:
$$ax^2 + bx + c = a(x+c_1)^2 + c_2$$
onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes da expressão quadrática e $c_1$ e $c_2$ são constantes, isto é, seus valores não dependem da variável $x$.

As constantes $c_1$ e $c_2$ dependem diretamente dos coeficientes da expressão, a saber:
$$c_1 = \dfrac{b}{2a} \\ c_2 = \frac{4ac – b^2}{4a^2}$$

A famigerada fórmula de Bháskara é encontrada a partir deste completamento, ao igualar a expressão a $0$.

Observe agora passo-a-passo como se dá o processo de completamento de quadrados para a seguinte expressão:
$$x^2 + 8x + 1$$

1. Extraímos a raiz do primeiro termo:
\begin{array}{c c c c c}
x^2 &+ 8x &+ 1 = \\
| & & \\
\color{red}x & &
\end{array}

2. Agora, estamos à procura de um valor $k$ tal que:
$$2 \cdot \color{red}x \cdot k = 8x$$
Isolando o $k$ na equação acima, é fácil ver que ele deve valer $4$.

$$k = \frac{8x}{2x} = 4$$

3. Adicionamos e subtraímos $k^2$ na expressão. Neste caso, se $k=4$, então $k^2 = 16$.

$$x^2 + 8x + 16 – 16 + 1$$

Podemos fazer isso pois $(+ 16 – 16) = 0$, então, tecnicamente não estamos modificando nossa expressão porque estamos somando $0$.

4. Perceba agora que os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito. Iremos fatorá-lo e depois somar as constantes que ficaram fora.
\begin{align}
\underbrace{x^2 + 8x + 16} – 16 + 1 &= \\
(x+ 4)^2 – 16 + 1 &= \\
(x+ 4)^2 – 15
\end{align}

Portanto, é correto afirmar que:
$$x^2 + 8x + 1 = (x+ 4)^2 – 15$$

• $y^2 -6y + 3$

\begin{array}{c c c c c}
y^2 & – 6y &+ 3 \\
| & & \\
y & &
\end{array}

$$2 \cdot y \cdot k = -6y \\
k = -\frac{6y}{2y} \\
k = -3 \\
k^2 = 9$$

\begin{align}
y^2 – 6y + 3 &= \underbrace{y^2 – 6y+ 9} \; \, – 9 + 3 \\
&= (y-3)^2 -6
\end{align}

• $9a^2+ 24ab + 5b^2$

\begin{array}{c c c c c}
9a^2 & + 24ab &+ 5b^2 \\
| & & \\
3a & &
\end{array}

$$2 \cdot 3a \cdot k = 24ab \\
6a \cdot k = 24ab \\
k = \frac{24a\hspace{-0.3cm}/b}{6a \hspace{-0.3cm}/} \\
k = 4b \\
k^2 = 16b^2$$

\begin{align}
9a^2+ 24ab + 5b^2 &= \underbrace{9a^2+ 24ab + 16b^2} \; – 16b^2 + 5b^2 \\
&= (3a + 4b)^2 – 11b^2
\end{align}