Teoria Fatoração

Dado um polinômio
$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$$Ele pode ser fatorado na forma
$$a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)$$ onde $x_1, x_2, …, x_n$ são as raízes do polinômio.

Para fatorar, por exemplo, a expressão
$$x^3 + 2x^2 -5x – 6$$é necessário conhecer suas raízes. Para isso pode ser utilizada qualquer técnica: fórmula de Cardano-Tartaglia, algoritmo de Briot-Ruffini etc.

Neste caso, as raízes deste polinômio são $2$, $-3$ e $-1$. Desta maneira:
\begin{align}
x^3 + 2x^2 – 5x – 6 &= 1\cdot(x – 2)(x – ( – 3))(x- (-1)) \\
x^3 + 2x^2 – 5x – 6 &= (x-2)(x+3)(x+1)
\end{align}

A expressão quadrática é o caso particular de polinômio em que $n = 2$ na definição apresentada acima. A forma geral da expressão quadrática é geralmente vista como:
$$ax^2 + bx + c$$
Assim, a fatoração de uma expressão quadrática é:
$$a(x-x_1)(x-x_2)$$
em que $x_1$ e $x_2$ são as raízes da expressão.

Geralmente recorremos à esta fatoração quando a expressão não é um trinômio quadrado perfeito.

Neste tópico iremos mostrar como fatorar uma expressão quadrática, incluindo como encontrar as raízes. Utilizaremos como exemplo a seguinte expressão:
$$4a^2 + 8a – 12$$
O primeiro passo é encontrar as raízes da expressão, isto é, os valores de $a$ que tornam verdadeira a seguinte equação:
$$4a^2 + 8a – 12 = 0$$
Perceba que podemos simplificar a equação por $4$
\begin{align}(\div 4) \qquad 4a^2 + 8a – 12 &= 0 \qquad (\div 4) \\
a^2 + 2a – 3 &= 0
\end{align}
Utilizaremos a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes.
$\begin{align}
\Delta &= b^2 – 4ac \\
\Delta &= 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) \\
\Delta &= 4 +12 \\
\Delta &= 16 \\
\sqrt{\Delta} &= 4
\end{align}$

$\begin{align}
a = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 \pm 4}{2 \cdot 1} &\Rightarrow a_1 = \dfrac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2}{2} = \color{orange}1 \\
& \Rightarrow a_2 = \dfrac{-2 – 4}{2 \cdot 1} = -\dfrac{6}{2} = \color{red}{-3}
\end{align}$

As raízes são $1$ e $-3$. Mas atenção, para a fatoração utilizaremos o coeficiente do termo quadrático da expressão original! A expressão foi simplificada por $4$ apenas para facilitar o cálculo das raízes.
$$\color{blue}4a^2 + 8a – 12 = \color{blue}4\cdot(x-(\color{red}{-3}))(x- \color{orange}1) \\ 4a^2 + 8a – 12 = 4(x+3)(x-1)$$