Teoria Fatoração

Uma expressão algébrica (que não pode ser reduzida) formada por três parcelas é denominada trinômio.

Se precisamos fatorar um trinômio, o primeiro passo é verificar se ele é um trinômio quadrado perfeito, isto é, se ele provém do produto notável quadrado da soma ou quadrado da diferença.

Algebricamente, os padrões são:
$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)(a+b) = (a+b)^2 \\ a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)(a-b) = (a-b)^2$$

Ambas as formas, $(a+b)(a+b)$ ou $(a+b)^2$, estão corretas. A utilização de cada uma depende do contexto.

Veremos um exemplo passo-a-passo de como identificar um trinômio quadrado perfeito utilizando o seguinte como exemplo:
$$ x^2 + 6x + 9 $$

1. Extraia a raiz quadrada dos termos que possuem raiz quadrada exata:
\begin{array}{c c c c c}
x^2 &+ 6x &+ 9 = \\
| & & | \\
x & & 3
\end{array}

2. Verifique se o terceiro termo é o dobro da multiplicação entre estas raízes (“duas vezes o primeiro pelo segundo”):
$$2 \cdot x \cdot 3 = 6x \color{green}{\checkmark}$$

3. Pronto! Seu trinômio é um legítimo membro da espécie quadrado perfeito. Basta escrevermos agora a forma fatorada:
\begin{array}{c c c c}
x^2 &\color{darkgreen}+ 6x &+ 9 = &(\color{blue}x \color{darkgreen}+ \color{red}3)^2\\
| & & | \\
\color{blue}x & & \color{red}3
\end{array}

Quem dita se a expressão é um quadrado da soma ou da diferença entre $x$ e $3$ é o sinal do produto misto

Veja agora dois contra-exemplos de trinômios que aparentam, mas não são quadrados perfeitos:
\begin{array}{c c c c c}
y^2 &- 5y &+ 25 = \\
| & & | \\
y & & 5
\end{array}

Perceba que o termo misto $5y$ é o produto entre $5$ e $y$, mas deveria ser o dobro:
$$2 \cdot y \cdot 5 = 10 y \; \neq 5y$$

Outro contra-exemplo ocorre quando há um conflito entre sinais:
$$4a^2- 8a- 4$$

Para verificar se a expressão é um trinômio quadrado perfeito precisaríamos extrair a raiz de $-4$, mas isto não é possível no conjunto dos números reais.

• $x^2 + 4x + 4 = (x+2)(x+2) = (x+2)^2$
• $b^2 + 14b + 49 = (b+7)(b+7) = (b + 7)^2$
• $9a^2 + 12a + 4 = (3a + 2)^2$
• $4z^2 – 20z + 25 = (2z -5)^2$
• $n^2 – n + \dfrac{1}{4} = \left ( n – \dfrac{1}{2} \right )^2$