Teoria Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Em certos contextos é necessário dividir uma quantia ou um valor em partes inversamente proporcionais a determinador valores.

De maneira geral, para dividir um número $n$ em partes inversamente proporcionais a $a$, $b$, $c$ etc, utilizamos uma constante de proporção $k$ e o modelo $y = \frac{k}{x}$ para grandezas inversamente proporcionais.

Primeira parte: $\dfrac{k}{a}$

Segunda parte: $\dfrac{k}{b}$

Terceira parte: $\dfrac{k}{c}$

etc

Para calcular o $k$ e, depois, cada uma das partes, resolvemos a seguinte equação:

$$\dfrac{k}{a} + \dfrac{k}{b} + \dfrac{k}{c} + … = n$$

Neste exemplo iremos dividir o número $140$ em partes inversamente proporcionais a $2$, $3$ e $10$.

Primeira parte: $\dfrac{k}{2}$
Segunda parte: $\dfrac{k}{3}$
Terceira parte: $\dfrac{k}{10}$

$$\dfrac{k}{2} +\dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{10} = 140 \\
\dfrac{15k + 10k + 3 k}{30 \hspace{-0.7em}/} = \dfrac{4200}{30 \hspace{-0.7em}/} \\
28k = 4200 \\
k = \dfrac{4200}{28} \\
k = 150$$

Agora, conhecendo o $k$, substituímos nas partes:

Primeira parte: $\dfrac{k}{2} = \dfrac{150}{2} = 75$
Segunda parte: $\dfrac{k}{3} = \dfrac{150}{3} = 50$
Terceira parte: $\dfrac{k}{10} = \dfrac{150}{10} = 15$