Teoria Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Em vários contextos surge a necessidade de se dividir um valor em partes diferentes entre si, sendo que estas partes são proporcionais a certos valores.

De maneira geral, para dividir um número $n$ em partes diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) a números $a$, $b$, $c$, $d$ etc, utilizamos uma constante $k$ de proporção.

Seguindo o modelo $y = k \cdot x$ para grandezas diretamente proporcionais, temos:

Primeira parte: $a \cdot k$
Segunda parte: $b \cdot k$
Terceira parte: $c \cdot k$
Quarta parte: $d \cdot k$
etc

Para calcular a constante $k$ e, depois, cada uma das partes, basta resolver a equação:

$$ak + bk + ck + dk + … = n$$

Vamos dividir o número em $100$ em três partes diretamente proporcionais a $4$, $7$ e $9$. Primeiro vamos descrever as partes multiplicando estes números por uma constante $k$ de proporção, pois são diretamente proporcionais:

Primeira parte: $4k$
Segunda parte: $7k$
Terceira parte: $9k$

Agora, ao somarmos as partes, o resultado deve ser $100$; assim descobriremos a constante $k$:

$$4k + 7k + 9k = 100 \\
20 k = 100 \\
k = \dfrac{100}{20} \\
k = 5$$

Agora substituímos esta constante e calculamos cada parte:

Primeira parte: $4k = 4 \cdot 5 = 20$
Segunda parte: $7k = 7 \cdot 5 = 35$
Terceira parte: $9k = 9 \cdot 5 = 45$

Carlos e Rogério abriram uma empresa e precisaram investir $R\$30.000,00$, sendo que $R\$12.000,00$ foram de Carlos e os $R\$18.000,00$ restantes são de Rogério. Se, no primeiro mês, a empresa lucrou $R\$6.000,00$, quanto cada um deve receber se o lucro for dividido de maneira proporcional ao capital de cada um?

Para resolver este problema vamos modelar da seguinte forma: as partes de Carlos e Rogério são diretamente proporcionais a $12.000$ e a $18.000$; vamos utilizar uma constante de proporção $k$:

Carlos: $12.000 \cdot k$
Rogério: $18.000\cdot k$

Se somarmos as partes dos dois o resultado deve ser os $R\$6.000,00$:

$$12.000k + 18.000k = 6.000 \\
30.000k = 6.000 \\
k = \dfrac{6.000}{30.000} \\
k = \dfrac{1}{5}$$

Agora voltamos e aplicamos a constante:

Carlos: $12.000 \cdot \frac{1}{5} = 2.400$
Rogério: $18.000 \cdot \frac{1}{5} = 3.600$

Então, se a divisão for feita de maneira proporcional, Carlos deve receber $R\$2.400,00$ e Rogério $R\$3.600,00$