Teoria Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Dizemos que duas grandezas $x$ e $y$ são diretamente proporcionais quando a razão (divisão) entre $x$ e $y$ sempre dá o mesmo resultado, ou seja, é constante.

$$\dfrac{x}{y} = k$$

Este valor $k$ é denominado constante de proporção e indica o quanto $x$ (o numerador) é maior ou menor que $y$ (o denominador).

Em outras palavras, duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção (quando uma dobra, a outra também dobra, por exemplo); quando uma diminui, a outra também diminui na mesma proporção.

Se $\dfrac{x}{y}$ é constante, então $\dfrac{y}{x}$ também é constante. Entretanto, se a razão for invertida a constante de proporção também inverte.

$$\dfrac{y}{x} = k’ = \dfrac{1}{k}$$

Representamos que $x$ é diretamente proporcional a $y$ desta maneira:

$$x \propto y$$

Um objeto em movimento constante faz certo deslocamento em certo tempo. Veja abaixo uma tabela que relaciona um caso com estas grandezas:

Perceba que sempre que fizermos $\dfrac{x}{y}$ o resultado é o mesmo:

\begin{array}{c c c }
\dfrac{3}{1} = 3 & \dfrac{6}{2} = 3 & \dfrac{9}{3} = 3 \\
\dfrac{12}{4} = 3 & \dfrac{15}{5} = 3
\end{array}

Então podemos afirmar que, neste caso, deslocamento e tempo são diretamente proporcionais.

Neste exemplo veremos a relação entre certa quantidade de massa de manteiga (em gramas) e a quantidade de calorias (em kcal) que ela possui:

Neste caso, iremos verificar que a razão $\dfrac{y}{x}$ é constante:

\begin{array}{c c c}
\dfrac{72}{10} = 7,2 & \dfrac{144}{20} = 7,2 \\
\dfrac{50}{360} = 7,2 & \dfrac{720}{100} = 7,2
\end{array}

Neste caso iremos mostrar que o perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao tamanho do lado do quadrado. (Lembre-se de que perímetro de um polígono é a soma de todos os seus lados).

Colocando as grandezas em uma tabela:

Veja que a razão $\dfrac{y}{x}$ é constante:

\begin{array}{c c}
\dfrac{4}{1} = 4 & \dfrac{8}{2} = 4 \\
\dfrac{10}{2,5} = 4 & \dfrac{12}{3} = 4
\end{array}

Ou seja, no caso do quadrado, o perímetro sempre é $4$ vezes o tamanho do lado.

$$P = 4l$$

Após estes exemplos a pergunta natural é: “que grandezas não são diretamente proporcionais?”. Uma das respostas é “o lado e a área de um polígono”.

Iremos novamente utilizar o quadrado como exemplo. Lembre-se que para calcular a área do quadrado, basta elevar a medida do lado ao quadrado.

Observe a tabela relacionando estas grandezas:

E que a razão $\dfrac{y}{x}$ não é constante:

\begin{array}{c c}
\dfrac{1}{1} = 1 & \dfrac{4}{2} = 2 \\
\dfrac{6,25}{2,5} = 2,5 & \dfrac{9}{3} = 3
\end{array}

Então o lado do quadrado e sua área não são diretamente proporcionais.