Teoria Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Dizemos que duas grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais quando o produto entre $x$ e $y$ é constante.

$$x \cdot y = k$$

Este valor $k$ é denominado constante de proporção.

Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção (uma dobra e a outra cai pela metade, por exemplo).

Representamos que $x$ é inversamente proporcional a $y$ da seguinte forma:

$$x \propto \dfrac{1}{y}$$

Ou seja, é o mesmo que dizer que $x$ é proporcional ao inverso de $y$.

Neste exemplo iremos tratar das grandezas velocidade e tempo. Primeiro, perceba que se existe uma distância a ser percorrida, quanto maior a velocidade, menor é o tempo levado.

Veja abaixo uma tabela que relaciona o tempo $(y)$ total em horas de uma viagem feita à uma velocidade $(x)$ em quilômetros por hora:

Perceba que quando dobramos a velocidade de $60$ para $120$, o tempo em horas cai de $4$ para $2$, ou seja, pela metade.

Para ter certeza de que $x$ e $y$ são inversamente proporcionais, o produto deles deve ser constante:

\begin{array}{c c}
60 \cdot 4 = 240 & 80 \cdot 3 = 240 \\
100 \cdot 2,4 = 240 & 120 \cdot 2 = 240
\end{array}

Esta constante, neste caso, representa a distância total percorrida na viagem.

Considere uma jarra com $2L$ de suco (o que corresponde a $2000mL$) que será dividido entre algumas pessoas. Quanto mais pessoas houverem, menos suco cada uma receberá, o que é um indício de que as grandezas são inversamente proporcionais.

Para ter certeza, verificamos que $x \cdot y$ é constante:

\begin{array}{c c c}
1 \cdot 2000 = 2000 & 2 \cdot 1000 = 2000 & 4 \cdot 500 = 2000 \\
5 \cdot 400 = 2000 & 10 \cdot 200 = 2000
\end{array}

Neste caso iremos relacionar o tempo $y$ (em minutos) que certo número de máquinas $x$ demoram para produzir certa quantidade fixa de bolachas.

Note que, mesmo antes de ver a tabela, já imaginamos que quanto mais máquinas houverem, menos tempo elas irão levar para concluir o serviço.

Para confirmar que as grandezas são inversamente proporcionais, calculamos os produtos $x \cdot y$:

\begin{array}{c c}
3 \cdot 72 = 216 & 4 \cdot 54 = 216 \\
5 \cdot 43,2 = 216 & 6 \cdot 36 = 216
\end{array}

Imagine a seguinte situação: a temperatura de um corpo inicia a $100^{\circ}C$ e a cada $1$ minuto ela decai $10^{\circ}{C}$. Veja abaixo uma tabela que relaciona a temperatura do corpo $x$ e o tempo decorrido $y$, em minutos:

A princípio podemos pensar (de maneira errada) que “conforme o tempo aumenta, a temperatura diminui, então são inversamente proporcionais.”

Mas esta não é uma condição suficiente, é apenas um indício desse tipo de relação. Para serem inversamente proporcionais, o produto das grandezas deve ser constante, o que não acontece:

\begin{array}{c c}
90 \cdot 1 = 90 & 80 \cdot 2 = 160 \\
70 \cdot 3 = 210 & 60 \cdot 40 = 240
\end{array}