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Cálculo de logaritmos

Utilizaremos a definição apresentada acima para calcular os seguintes logaritmos:

1.1

$\log 100 = ?$

Quando a base não é denotada ela vale $10$.

\begin{align}
\log_{10} 100 &= x \\
100 & = 10^x \\
10^2 & = 10 ^x\\
\therefore 2 &= x
\end{align}

Assim, $$\log 100 = 2$$

1.2

$\log_{27}3 = ?$

\begin{align}
\log_{27} 3 &= x \\
3 & = 27^x \\
3 & = (3^3)^x\\
3^1&= 3^{3x} \\
\therefore 1 &= 3x \\
x &= \frac{1}{3}
\end{align}

Assim, $$\log_{27}3 = \frac{1}{3}$$

1.3

$\log_{2014} 1 = ?$

\begin{align}
\log_{2014} 1 &= x \\
1 & = 2014^x \\
2014^0 &= 2014^x \\
\therefore 0 &= x \\
\end{align}

Assim, $$\log_{2014} 1 = 0$$

Obs.: O logaritmo de $1$ em qualquer base resulta em $0$.

1.4

$\log_4 0,25 = ?$

\begin{align}
\log_{4} 0,25 &= x \\
0,25 & = 4^x \\
\frac{1}{4} &= 4^x \\
4^{-1} &= 4^{x} \\
\therefore -1 &= x \\
\end{align}

Assim, $$\log_4 0,25 = -1$$

1.5

$\log_7 7 = ?$

\begin{align}
\log_{7} 7 &= x \\
7^1 & = 7^x \\
\therefore 1 &= x \\
\end{align}

Assim, $$log_7 7 = 1$$

Obs.: Sempre que a base e o logaritmando forem iguais, o logaritmo é $1$.

1.6

$\log_2 \sqrt2 = ?$

\begin{align}
\log_2 \sqrt2 &= y \\
\sqrt 2 &= 2^y \\
2^{\frac{1}{2}} &= 2^{y} \\
\therefore y &= \dfrac{1}{2}
\end{align}

Obs: Lembre-se de a raiz pode ser escrita como expoente fracionário!

1.7

$\log 3 = ?$

\begin{align}
\log_{10} 3 &= x \\
3 & = 10^x \\
\end{align}

A solução desta equação exponencial não pode ser obtida analiticamente (de maneira exata) sendo necessária a utilização de arredondamentos ou métodos numéricos.
O importante é saber que existe um expoente de $10$ que resulta em $3$, mesmo que seja um valor irracional.

Desta maneira, $\log 3 \approx 0,477$, pois $10^{0,477} \approx 3$.