Teoria Logaritmo

$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$

Para verificar que a propriedade é válida vamos utilizar as igualdades
\begin{array}{c c c}
\log_a x = z & \Rightarrow & x = a^z\\
\log_a y = w & & y = a^w\\
\\
& xy = a^z \cdot a^w \\
& xy = a^{z+w}
\end{array}
Desta maneira,
\begin{align} \log_a (xy) & = \log_a a^{z+w} \\ & = z + w = \log_a x + \log_a y
\end{align}

Assumindo que $\log 2 = 0,3$ e $\log 3 = 0,48$ podemos calcular:

\begin{align} \log 6 &= \log (2 \cdot 3) \\
&= \log 2 + \log 3 \\
&= 0,3 + 0,48 \\
&= 0,78
\end{align}

E também podemos calcular:
\begin{align}
\log 12 & = \log (2 \cdot 6) \\
& = \log 2 + \log 6 \\
& = 0,3 + 0,78 \\
& = 1,08
\end{align}

Considere que $\log_5 2 = a$. Determine o valor de $\log_5 20$ em função de $a$.

Fatorando $20$ temos que:

$$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$$

Portanto:

\begin{array}{r c l}
\log_5 20 &=& \log_5 (2 \cdot 2 \cdot 5) \\
&=& \log_5 2 + \log_5 2 + \log_5 5 \\
&=& a + a + 1 \\
&=&2a + 1
\end{array}