Teoria Logaritmo

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Para demonstrar essa propriedade utilizaremos a definição:
\begin{align}
\log_b a &= z \\
a &= b^z
\end{align}

Como o logaritmo é uma função injetora, podemos aplicá-lo nos dois lados da equação. Em particular, escolheremos uma base $c$.

\begin{align}
\log_c a &= \log_c b^z \\
\log_c a &= z \cdot \log_c b \\
z &= \frac{\log_c a}{\log_c b} \\
\log_b a &= \frac{\log_c a}{\log_c b}\\
\end{align}

Assumindo que $\log 2 = 0,3$ e $\log 3 = 0,48$ podemos calcular:

\begin{align}
\log_2 3 &= \frac{\log 3}{\log 2} \\
&= \frac{0,48}{0,3} \\
&= 1,6
\end{align}

\begin{align}
\log_8 9 & = \frac{\log 9}{\log 8} \\
&= \frac{\log 3^2}{\log 2^3} \\
&= \frac{2 \cdot \log 3}{3 \cdot \log 2} \\
&= \frac{0,96}{0,9} \\
&= 1,066…
\end{align}

\begin{align}
\log_3 10 & = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 3} \\
&= \frac{1}{0,48} \\
&= 2,08333…
\end{align}

Obs.: Perceba que
$$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$$
para quaisquer $a,b > 0$ e diferentes de $1$.

Uma das decorrências da mudança de base é a seguinte:

$$\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$$

De fato, se aplicarmos a fórmula da mudança de base:

$$\log_b a = \dfrac{\log_a a}{\log_a b} = \dfrac{1}{\log_a b}$$

Exemplos:

Se $\log 2 \approx 0,3$ então:

$$\log_2 10 = \dfrac{1}{0,3} = \dfrac{10}{3} = 3,33…$$