Teoria Progressão Aritmética (PA)

Dada uma PA finita com $n$ elementos, $(a_n), n \in U\subset \mathbb{N}$, podemos calcular a soma de todos os seus elementos através da fórmula:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

A PA não precisa necessariamente ser finita; neste caso, calculamos a soma de seus $n$ primeiros termos.

Considere a PA formada através do termo geral $b_n = -2n + 42$ para números naturais $n \in \{ 1,2,3, …, 10 \}$. Iremos somar todos os termos desta PA.

Primeiro, deve-se determinar o primeiro e último termo:

$$b_1 = 40 \quad b_{10} = 22$$

Agora basta levar estes valores à fórmula da soma:

\begin{align}
S_{10} & = \displaystyle \frac{10 \cdot (40 + 22)}{2} \\
& = \displaystyle \frac{10 \cdot 62}{2} \\
& = 5 \cdot 62 \\
& = 310
\end{align}

Qual é a soma dos múltiplos positivos de $5$ formados por $3$ algarismos?

Os múltiplos positivos de $5$ formados por $3$ algarismos constituem a PA $(100,105,110, … , 995)$, em que $a_{1}=100$, a razão $r=5$ e $a_{n} =995$.

O número de elementos desta PA é $n$ tal que:

\begin{align}
a_{n} &= a_{1} + (n – 1) \cdot r \\
995 &=100 + (n – 1) \cdot 5 \\
n&=180
\end{align}

Assim,
\begin{align}
S_{180} &= \frac{180 \cdot (100 + 995)}{2} =98550
\end{align}