Teoria Progressão Aritmética (PA)

Através da relação de recorrência podemos deduzir que:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot r$$

Esta é o chamado termo geral da PA. Pode ser entendido como uma fórmula para determinar um termo da PA a partir de sua posição.

A partir da PA $(20, 15, 10, 5, 0, -5, …)$ iremos determinar seu $15º$ termo.

Primeiro, as informações mais importantes:

\begin{align}
a_1 &= 20 \\
r &= a_2- a_1 = 15- 20 = -5
\end{align}

Agora levamos estes valores à fórmula do termo geral.

\begin{eqnarray*}
a_{15} & = & a_1 + 14 \cdot r \\
& = & 20 + 14 \cdot (-5) \\
& = & 20- 80 \\
& = & -60
\end{eqnarray*}

Qual o primeiro termo negativo da PA $(60, 53, 46, …)$ ?

Repare que esta PA tem $a_{1} = 60$ e razão $r= – 7$.

Para analisarmos esta sequência e encontrarmos seu primeiro termo negativo, precisamos considerar a condição:

\begin{align}
a_{n} < 0 \\ \\
a_{1} + (n – 1)r < 0 \\ \\
60 + (n – 1) \cdot ( – 7) < 0 \\ \\
n – 1 > \frac{60}{7} \\ \\
n > \frac{67}{7} \sim 9,5
\end{align}

Portanto, $a_{n} < 0$ para $n=10,11,12,…$, ou seja, o primeiro termo negativo da PA é $a_{10}$.

A soma de quatro termos consecutivos de uma PA é $ – 6$ e o produto do primeiro pelo quarto é $ – 54$. Determinar estes termos.

Quando precisamos obter uma PA de $4$ termos é muito prática a seguinte notação:

$$(x,x + r,x + 2r,x + 3r)$$

onde $r$ é a razão da PA.

Assim, de acordo com o enunciado,

\begin{align}
x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r)&= – 6 \\
x \cdot (x + 3r) &= – 54
\end{align}

Primeiro, vamos resolver este sistema:

\begin{cases}
4x + 6r &=\ – 6 \ \ \ \color{blue}{(1)} \\
x^{2} + 3rx &=\ – 54 \ \color{blue}{(2)}
\end{cases}

Usando o Método da Substituição, isolamos $r$ na equação $\color{blue}{(1)}$ e substituímos em $\color{blue}{(2)}$, obtendo a equação quadrática:

\begin{align}
x^{2} + 3x – 54 &= 0
\end{align}

E resolvendo esta equação pela Fórmula de Bhaskara, determinamos as raízes $x_{1} = – 9$ e $x_{2} =6$.

Agora, substituindo estes resultados no sistema , temos

\begin{align}
x_{1} &= – 9 \Rightarrow r_{1} = 7 \\
x_{2} &= 6 \ \ \Rightarrow r_{2} = – 5
\end{align}

Assim, encontramos duas sequencias :

\begin{align}
(x,x + r,x + 2r,x + 3r) \\
(x_{1},x_{1} + r_{1},x_{1} + 2r_{1},x_{1} + 3r_{1}) \\
( – 9, – 2, 5,12)
\end{align}

e

\begin{align}
(x,x + r,x + 2r,x + 3r) \\
(x_{2},x_{2} + r_{2},x_{2} + 2r_{2},x_{2} + 3r_{2}) \\
( – 9, – 4,1,6)
\end{align}

E precisamos verificar se validam as condições dadas no enunciado. Vamos lá !

Na sequencia $( – 9, – 2, 5,12)$, repare que o produto do primeiro e quarto termos não resulta $ – 54$, enquanto que na sequencia $( – 9, – 4,1,6)$ isto ocorre, bem como a soma dos termos é $ – 6$.

Logo, a PA solução é $( – 9, – 4,1,6)$.

Determine $y$ de modo que $(y^{2}, (y + 1)^{2}, (y + 5)^{2})$ seja uma PA.

Como a sequencia dada é uma PA de $3$ termos $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ e a razão de uma PA é dada por:

\begin{align}
a_{2} – a_{1} &= a_{3} – a_{2}
\end{align}

Podemos escrever:

\begin{align}
(y + 1)^{2} – y^{2} &= (y + 5)^{2} – (y + 1)^{2} \\ \\
y^2 + 2y + 1 – y^2 &= y^2 + 10y + 25 – (y^2 + 2y + 1) \\ \\
2y + 1 &=8y + 24 \\ \\
6y &= – 23 \\ \\
y&= – \frac{23}{6}
\end{align}

Dado o termo geral $a_n = 3n + 7$ para qualquer natural $n$, tal que $n \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$, iremos determinar os termos da PA.

Primeiro substituímos $n = 1$, depois $n = 2$:

$$a_1 = 3 \cdot 1 + 7 = 10$$

$$a_2 = 3 \cdot 2 + 7 = 13$$

Assim, já podemos descobrir a razão da PA e completar os próximos termos, até o 8º.

$$r = 13- 10 = 3$$

$$(a_n) = (10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31)$$

Iremos determinar em que posição o termo $221$ aparece na PA $(17, 21, 25, 29, …)$.

Primeiro, as informações básicas da PA:

\begin{align}a_1 &= 17 \\ r &= 21- 17 = 4\end{align}

Agora já podemos escrever seu termo geral:

\begin{align}
a_n &= a_1 + (n- 1) \cdot r \\
a_n &= 17 + (n- 1) \cdot 4\\
\end{align}

Sabemos que $221$ é um termo da PA $(a_n)$, só não sabemos sua posição $n$. Então substituímos $a_n$ por $221$ e resolvemos a equação.

\begin{align}
221 &= 17 + (n- 1) \cdot 4\\
221- 17 &= 4(n- 1)\\
204 &= 4(n-1) \\
\dfrac{204}{4} &= n- 1 \\
n- 1 &= 51\\
n &= 51+ 1 \\
n &= 52
\end{align}

Portanto, a posição de $221$ na PA é a $52ª$.