Teoria Progressão Geométrica (PG)

Finita

Dada uma progressão geométrica finita ou infinita, com razão $q$, a soma de seus $n$ primeiros termos pode ser calculada através da fórmula:
$$S_n = a_1 . \frac{1 – q^n}{1 – q}$$

Infinita

Dada uma progressão geométrica $(a_n)$ infinita, com razão $q$ tal que $0 < |q| < 1$, a soma de todos os seus termos pode ser calculada através da fórmula:
$$S = \frac{a_1}{1 – q}$$

Também é comum que a soma infinita na PG seja denotada pelo símbolo $S_{\infty}$.

Por mais incrível que pareça, é possível somar infinitos números e obter um número como resultado.

Considere a PG $\left (6, 2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots \right)$.

Primeiro iremos determinar sua razão:

$$q = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$

Desta forma, a soma dos $5$ primeiros termos da PG é:

\begin{align*}
\displaystyle S_5 & = 6 \cdot \frac{1- \left (\frac{1}{3} \right)^5}{1- \frac{1}{3}} \\
& = 6 \cdot \frac{1 – \frac{1}{243}}{1 – \frac{1}{3}} \\
& = 6 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} \\
& = 6 \cdot \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} \\
& = \frac{242}{27} \approx 8,963
\end{align*}

E a soma de todos os termos é:

\begin{align*}
\displaystyle S & = \frac{6}{1 – \frac{1}{3}} \\
& = \frac{6}{\frac{2}{3}} \\
& = 9
\end{align*}

Observe que a soma dos $5$ primeiros termos já chega bem próximo de $9$.