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Termo geral da PG

Através da relação de recorrência podemos deduzir que:
$$a_n = a_1 . q^{n-1}$$

Esta é o chamado termo geral da PG. Pode ser entendido como uma fórmula para determinar um termo da PA a partir de sua posição.

2.1

Aplicação do termo geral

Considerando a PG $(a_n) = (4, 12, 36, 108, 324, \dots )$ iremos encontrar seu sétimo termo.

Primeiro, precisamos das seguintes informações:

\begin{align}
& a_1 = 4 \\
& q = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = 3
\end{align}

Agora levamos estas informações à fórmula do termo geral:

\begin{align}
& a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \\
& a_n = 4 \cdot 3^{n-1}
\end{align}

O 7° termo desta progressão é determinado da seguinte forma:

\begin{align*}
a_{7} & = 4 . (3)^6 \\
& = 4 \cdot 81\\
& = 2916
\end{align*}

2.2

Como determinar o termo geral

Iremos determinar o termo geral da PG $\left (4, 2, 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{4}, \dots \right )$

\begin{align*}
& a_1 = 4 \\
&q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\
\\
& q_n = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right )^{n-1}
\end{align*}

2.3

Exemplo 1

Qual é o número $x$ que deve ser somado a $1$, $9$ e $15$, para que se tenha, nessa ordem, três números em PG.

Para que $(x + 1, x + 9, x + 15)$ seja PG:
\begin{align}
\frac{x + 9}{x + 1} &= \frac{x + 15}{x + 9} \\ \\
(x + 9)^2 &= (x + 15) \cdot (x + 1) \\ \\
x^2 + 18x + 81 &=x^2 + 16x + 15 \\ \\
2x&= – 66 \\ \\
x&= – 33
\end{align}

Portanto, o número é $ – 33$

2.4

Exemplo 2

Dada uma PG finita $(a_{1},a_{2},a_{3},…a_{10})$, de modo que $a_{1}=2$ e $a_{2}=6$, pergunta-se se é correta a igualdade:

\begin{align}
a_{10}^{ \frac{1}{8}} &= 3 \cdot 2^{\frac{1}{8}}
\end{align}

Para verificarmos se a igualdade acima é verdadeira, vamos determinar $a_{10}$ usando a fórmula do Termo Geral da PG:

\begin{align}
a_{n} &= a_{1} \cdot q^{n – 1}
\end{align}

Primeiro, substituindo $a_{1}=2$ e $a_{2}=6$ na fórmula acima, vamos calcular a razão $q$ da PG dada. Vamos lá !

\begin{align}
a_{2} &= a_{1} \cdot q^{2 – 1} \\
6&=2 \cdot q \\
q&=3
\end{align}

Agora que sabemos o valor de $q$, determinamos o termo $a_{10}$ e verificamos se a igualdade dada é verdadeira.

\begin{align}
a_{10} &= a_{1} \cdot q^{10 – 1} \\
a_{10} &= 2 \cdot 3^{9} \\
\end{align}

E elevando $a_{10}$ ao expoente $ \frac{1}{8} $, verificamos que:

\begin{align}
a_{10}^{ \frac{1}{8}} &= (2 \cdot 3^{9})^{\frac{1}{8}}
\end{align}

Repare que a expressão acima pode ser escrita usando a Radiciação:

\begin{align}
\sqrt[ 8 ]{a_{10} } &= \sqrt[ 8 ]{2 \cdot 3^8 \cdot 3 }\\ \\
\sqrt[ 8 ]{a_{10} } &=3 \cdot \sqrt[ 8]{2 \cdot 3 } \\ \\
\sqrt[ 8 ]{a_{10} } &=3 \cdot \sqrt[ 8]{ 6}\\
\end{align}

Logo,

\begin{align}
a_{10} ^{ \frac{^1}{8}} &= 3 \cdot 6 ^\frac{^1}{8}
\end{align}

E, por isso, a igualdade dada é falsa.

2.5

Exemplo 3

Uma empresa produziu, no ano de $1975$, $100 \ 000$ unidades de um produto.

Quantas unidades produzirá no ano de $1980$, se o aumento anual de produção é de $20 \% $?

Dado que o aumento anual da produção desta empresa é de $20 \% $, a sequencia de produção é uma PG de razão $q$.

E considerando que os termos desta PG são $a_{1}$ para o ano de $1975$ e $a_{6}$ para o ano de $1980$, podemos escrever:

\begin{align}
(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6})\\ \\
(100 \ 000, 120 \ 000, 144 \ 000, … a_{6})
\end{align}

Repare que a razão $q$ é:

\begin{align}
q &= \frac{120 \ 000}{100 \ 000} = 1,2
\end{align}

Assim, vamos determinar $a_{6}$ usando a fórmula do Termo Geral da PG:

\begin{align}
a_{n} &= a_{1} \cdot q^{n – 1} \\ \\
a_{6} &= 100 \ 000 \cdot 1,2^{6 – 1} \\\\
a_{6} &= 100 \ 000 \cdot 1,2^{5} \\ \\
a_{6} &= 248 \ 832
\end{align}

Logo, em $1980$, esta empresa produziu $ 248 \ 832$ unidades.

2.6

Exemplo 4

Qual o número $x$ que deve ser somado aos números $a – 2$, $a$, $a + 3$ para que $a – 2 + x$, $a + x$ e $a + 3 + x$ formem uma PG?

Dado que $a – 2 + x$, $a + x$ e $a + 3 + x$ formam uma PG e sabendo que a razão $q$ de uma PG é obtida através da divisão do termo posterior pelo termo anterior de uma sequência, podemos escrever :

\begin{align}
\large \frac{a + 3 + x}{a + x} &= \large \frac {a + x}{a – 2 + x}
\end{align}

E multiplicando em cruz :

\begin{align}
(a + 3 + x)\cdot(a – 2 + x) &= (a + x)^2 \\
a^2 – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x^2 &= a^2 + 2ax + x^2 \\
a^2 – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x^2 – a^2 – 2ax – x^2 &= 0\\
a – 6 + x&=0 \\
x &=6 – a
\end{align}

Logo, o número é $x=6 – a$.

2.7

Exemplo 5

Determine $5$ números inteiros em PG sabendo que sua soma é $\large \frac{121}{3}$ e seu produto é $243$.

Neste exercício, para representar a PG vamos usar a notação:

\begin{align}
(\large \frac{x}{q ^2}, \large \frac {x}{q}, x, xq,xq^2)
\end{align}

Primeiro, dado que o produto dos termos é 243, podemos escrever:

\begin{align}
\large \frac{x}{q ^2} \cdot \large \frac {x}{q} \cdot x \cdot xq \cdot xq^2 &= 243 \\ \\
x^5 &= 243 \\ \\
x&=\sqrt[5]{243} \\ \\
x&=3
\end{align}

Agora, dado que a soma dos termos é $\large \frac{121}{3}$ :

\begin{align}
3 (\large \frac{1}{q ^2} + \large \frac{1}{q} + 1 + q + q^2) &= \large \frac{121}{3} \\ \\
(\large \frac{1}{q ^2} + \large \frac{1}{q} + 1 + q + q^2) &= \large \frac{121}{9}
\end{align}

E susbtituindo $q + \large \frac{1}{q}=a$ e elevando ambos os termos ao quadrado :

\begin{align}
q^2 + 2q \cdot \large \frac{1}{q} + \large \frac{1}{q^2} &= a^2 \\ \\
q^2 + \large \frac{1}{q ^2}&= a^2 – 2 \\ \\
a^2 + a – \large \frac{130}{9} &=0
\end{align}

Resolvendo a equação acima determinamos $a= \large \frac{10}{3}$ e $a= \large \frac{ – 13}{3}$.

Logo, para $a= \large \frac{10}{3}$ podemos calcular a razão $q$ :

\begin{align}
q + \large \frac{1}{q}&=a \\ \\
q &= 3 \\ \\
q &= \large \frac{1}{3}
\end{align}

E assim determinar a PG:

\begin{align}
(\large \frac{1}{3},1,3,9,27) \ ou \ (27,9,3,1,\large \frac{1}{3})
\end{align}