Teoria Regra de três

Veja a seguir como resolver problemas utilizando a regra de três composta.

Em $5$ dias, $6$ impressoras são capazes de imprimir $30 \ 000$ folhas. Quantos dias são necessários para que $5$ impressoras imprimam $20 \ 000$ folhas?

Separamos a coluna com o $x$ do lado esquerdo da equação; a relação entre dias a impressoras é inversa, pois com menos impressoras serão necessários mais dias para fazer as impressões; a relação entre dias e folhas é direta: para imprimir menos folhas são necessários menos dias.

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{30 \ 000}{20 \ 000} \\
\dfrac{5}{x} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{30 \hspace{-0.5em}/ 0\hspace{-0.5em}/ 0 \hspace{-0.5em}/ 0 \hspace{-0.5em}/ }{20\hspace{-0.5em}/ 0\hspace{-0.5em}/ 0\hspace{-0.5em}/ 0\hspace{-0.5em}/ } \\
\dfrac{5}{x} = \dfrac{15}{12} \\
15x = 5 \cdot 12 \\
x = \dfrac{60}{15} \\
x = 4$$

R.: $4$ dias.

Uma equipe de $2$ anões ferreiros consegue forjar $16$ armaduras em $4$ dias. Quantos dias seriam necessários para forjar $30$ armaduras se os anões conseguissem mais três ferreiros de igual habilidade?

Vamos fazer uma tabela com as grandezas mencionadas. Atenção! Não utilizamos o número $3$ na coluna dos anões, ele deve ser adicionado aos outros $2$ e assim utilizaremos o $5$.

Agora o primeiro passo: separamos a coluna do $x$ à esquerda da equação:

$$\dfrac{4}{x} = $$

Depois vemos qual é a relação entre a grandeza do $x$ e as demais grandezas.

Quanto mais anões, menos dias são necessários. Portanto, os anões são inversamente proporcionais aos dias; quanto mais armaduras, mais dias são necessários. Assim, as armaduras são diretamente proporcionais aos dias.

Agora colocamos as colunas dos anões e das armaduras na equação se multiplicando, lembrando de inverter a coluna dos anões:

$$\dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{16}{30} \\
\dfrac{4}{x} = \dfrac{80\hspace{-0.5em}/}{60 \hspace{-0.5em}/} \\
8x = 24 \\
x = \dfrac{24}{8} \\
x = 3 \ dias$$

Com $5$ anões, eles conseguiriam forjar $30$ armaduras em $3$ dias.