Teoria Regra de três

A seguir iremos mostrar exemplos de como interpretar e resolver problemas envolvendo a regra de três, direta ou inversa.

Daniel possui em aquário com $8$ peixes e eles consomem $30g$ de ração por dia. Se ele puser mais $2$ peixes semelhantes aos que já tem, quanta ração será consumida por dia?

Se Daniel colocar $2$ peixes a mais, ele passará a ter $10$ peixes. Devemos montar a seguinte tabela:

Agora a pergunta: as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?

Quando mais peixes no aquário, mais ração será consumida por dia. Portanto, são diretamente proporcionais e fazemos a multiplicação em cruz:

\begin{align}
8 \cdot x &= 10 \cdot 30 \\ 8x &= 300 \\ x &= \dfrac{300}{8} \\ x &= 37,5g
\end{align}

Resposta: Serão consumidos $37,5g$.

Em certo show de rock houve, em média, $11$ pessoas para cada $2m^2$ de área. Se sabemos que o show ocorreu em um local com $2700m^2$, é possível calcular quantas pessoas assistiram ao show com a regra de três.

Quanto mais área, mais pessoas, portanto são diretamente proporcionais; podemos multiplicar em cruz os valores da tabela:

\begin{align}
11 \cdot 2700 &= 2 \cdot x \\
2x & = 29 700 \\
x &= \dfrac{29700}{2} \\
x &= 14 850
\end{align}

Portanto $14 850$ pessoas assistiram ao show.

Uma das utilidades da regra de três é a de converter unidades. Se o comprimento de $1$ polegada é aproximadamente $2,5cm$, qual é a medida de $15,5cm$ em polegadas?

Quanto mais polegadas, mais centímetros, portanto as medidas são diretamente proporcionais e devemos multiplicar em cruz.

\begin{align}
2,5 \cdot x & = 1 \cdot 15,5 \\
x &= \dfrac{15,5}{2,5} \\
x &= 6,2 \ pol
\end{align}

Portanto, $15,5cm$ correspondem a aproximadamente $6,2 \ pol$.

A cada $15min$ passam $2$ ônibus em certo ponto da cidade. Como exemplo, iremos aplicar a regra de três para calcular quantos ônibus passam neste ponto em um período de $2$ horas e meia.

Primeiro, colocamos os valores na tabela:

O problema é que os valores de tempo não estão na mesma unidade, o que significa que a proporção ficará incorreta. O caminho mais fácil é transformar $2,5h$ em minutos. Como cada hora possui $60$ minutos, basta multiplicar por $60$:

$$2,5h \cdot 60 = 150min$$

Agora alteramos o valor na tabela e continuamos a resolução:

Quanto mais tempo, mais ônibus passam pelo ponto, portanto é um caso de proporção direta; multiplicamos os valores em cruz e resolvemos a equação:

\begin{align}
15 x &= 2 \cdot 150 \\
15x & = 300 \\
x &= \dfrac{300}{15} \\
x &= 20
\end{align}

Portanto, em $2$ horas e meia, passam $20$ ônibus pelo ponto.

Marcela irá gastar $4$ horas para fazer uma viagem se mantiver uma velocidade de $90km/h$. Se ela desejar fazer a viagem em $1$ hora a menos, que velocidade deverá manter?

Este é um problema de proporção inversa, pois quanto mais velocidade, menor é o tempo da viagem. Portanto, ao fazer a tabela, iremos multiplicar os valores em linha.

\begin{align}
4 \cdot 90 &= 3 \cdot x \\
3x &= 360 \\
x &= \dfrac{360}{3}\\
x &= 120 km/h
\end{align}

Portanto ela deverá manter uma velocidade de $120km/h$ se quiser fazer a viagem em $3$ horas.

$9$ amigos pediram pizza e cada um deveria pagar $\text{R}\$11,20$, mas $2$ deles precisaram levar a avó no jiu-jitsu e não vão dividir a conta. Podemos calcular quanto cada um do restantes deve pagar através de uma regra de três.

A proporção é inversa, primeiro porque o que os $9$ iriam pagar é o mesmo que os $7$ restantes deverão pagar (valor constante) e porque com menos gente, cada um deve pagar mais.

Note que não colocaremos o número $2$ na tabela, quem entra são os $7$ restantes.

Como a proporção é inversa, multiplicamos em linha.

\begin{align}
9 \cdot 11,20 &= 7 \cdot x \\
x &= \dfrac{100,80}{7}\\
x &= 14,40
\end{align}

Cada um deverá pagar $\text{R}\$14,40$ agora.

Podemos resolver um problema de proporção conhecendo apenas $2$ valores se os outros $2$ possuírem uma relação entre si. Um exemplo disso é o seguinte problema:

“Uma gráfica possui certo número de impressoras e conseguia imprimir $1500$ livros por dia. Agora, com $2$ impressoras a mais, consegue imprimir $1800$ livros por dia. Quantas máquinas esta editora possui agora?”

Para resolvê-lo, iremos chamar de $x$ quantas impressoras ela possuía:

$x$: quantas impressoras a editora tinha

Então, significa que:

$(x+2)$: quantas impressoras a editora tem

Colocando as informações na tabela:

A proporção é direta, portanto multiplicamos os valores em cruz; preste atenção nos parênteses

\begin{align}
1800 \cdot x &= 1500 \cdot (x+2) \\
1800x &= 1500x + 3000 \\
1800x- 1500x &= 3000 \\
300x &= 3000 \\
x &= \dfrac{3000}{300} \\
x &= 10
\end{align}

Portanto a editora possuía $10$ impressoras e agora possui $12$.