Teoria Regra de três

Considere que José encontrou uma receita de molho de tomate que utiliza:

• $12$ tomates;
• $2$ cebolas médias;
• $4$ dentes de alho.

Entretanto ele olhou em sua cozinha e viu que só tem $3$ dentes de alho. Se ele quiser seguir a receita, ele vai ter que reduzir os outros ingredientes, mas quanto? Se ele tem $\mathbf{1}$ dente de alho a menos, ele deve tirar também $1$ cebola e $1$ tomate? Veja como ficaria a receita:

Na receita original, o número de tomates é $6$ vezes o número de cebolas, mas agora é $11$ vezes o número de cebolas! Além disso, o número de tomates era $3$ vezes a quantidade de dentes de alho, mas agora é quase $4$ vezes. Com certeza vai faltar sabor.

Queremos que todos os ingredientes sejam reduzidos igualmente, para manter o gosto da receita original. Por isso, este e outros problemas culinários são problemas de proporção, resolvidos com a regra de três.

Para calcular quantos tomates devem ser utilizados, podemos montar a seguinte tabela:

Lê-se “$4$ está para $12$ assim como $3$ está para $x$”, onde $x$ é a letra para a quantidade de tomates que queremos descobrir (pode-se utilizar qualquer letra).

Agora devemos nos perguntar: “alho e tomate são diretamente ou inversamente proporcionais?”; “se a quantidade de alho diminuiu, a quantidade de tomate irá aumentar ou diminuir?”.

Se o comportamento de uma grandeza é o mesmo da outra, elas são diretamente proporcionais (que é nosso caso). Significa que podemos multiplicar em cruz os elementos da tabela:

\begin{align}
4 \cdot x &= 3 \cdot 12 \\ 4x &= 36 \\ x &= \dfrac{36}{4} \\ x &= 9
\end{align}

Portanto, deve-se utilizar $9$ tomates com $3$ dentes de alho.

O cálculo da cebola é semelhante, veja a síntese dos passos:

1. colocar os valores correspondentes em uma tabela (vertical);
2. decidir se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais;
3. fazer a devida multiplicação, montar a equação e resolvê-la.

Bom, se reduzimos a quantidade de alho, a quantidade de cebola também deve ser reduzida, portanto são diretamente proporcionais. Multiplicamos os elementos em cruz:

\begin{align}4 \cdot y &= 3 \cdot 2 \\ 4y &= 6 \\ y &= \dfrac{6}{4} \\ y &= 1,5
\end{align}

Assim, devemos utilizar $1$ cebola e meia.

Observe a receita modificada e como ela faz sentido:

Os tomates permanecem sendo $6$ vezes o número de cebolas e $3$ vezes o número de dentes de alho; a quantidade de cebolas continua metade do número de dentes de alho. Desta maneira preservamos as razões entre as quantidades.