Teoria Ângulos no triângulo

A lei dos cossenos relaciona em uma só equação as três medidas dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos ângulos entre um par de lados.

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$$

Os lados de medida $b$ e $c$ são os lados adjacentes do ângulo $\alpha$ e o lado de medida $a$ é oposto ao ângulo $\alpha$.

A lei dos cossenos se mostra útil quando são conhecidos dois lados do triângulo e apenas o ângulo entre estes lados.

No triângulo abaixo são conhecidos os valores de dois lados e o valor do ângulo entre eles. Iremos calcular a medida $x$ do terceiro lado.

Utilizando a lei dos cossenos:
\begin{align}
x^2 &= 8^2 + 3^2 – 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos{60^{\circ}} \\
x^2 &= 64 + 9 -48 \cdot 0,5 \\
x^2 &= 73 – 24 \\
x^2 &= 49 \\
\sqrt{x^2}&= \sqrt{49} \\
x&= \pm \sqrt{49} \\
x &= \pm 7
\end{align}
Mas, como $x$ é uma unidade de comprimento, vamos desconsiderar o valor negativo, portanto, a medida do terceiro lado é $7$ unidades.

Uma das aplicações mais comuns da lei dos cossenos é a soma de vetores, quando estes não são ortogonais nem paralelos.

Para somar os vetores eles precisam estar encadeados, isto é, onde um termina o outro começa. Para isso vamos transportar paralelamente o vetor de módulo $4\sqrt3$. Repare que o ângulo entre eles será o suplementar de $30^{\circ}$.

O vetor resultante é o terceiro lado de um triângulo de lados $6$ e $4\sqrt3$ e ângulo $150^{\circ}$. Isso significa que seu módulo obedece à lei dos cossenos:

\begin{align}
v_r^2 &= 6^2 + (4\sqrt3)^2 – 2\cdot 6 \cdot 4 \sqrt3 \cdot \cos150^{\circ} \\
v_r^2 &= 36 + 16\cdot 3\ – 48 \sqrt3 \cdot \cos150^{\circ} \\
v_r^2 &= 36 + 48\ – 48 \sqrt3 \cdot \left (-\frac{\sqrt3}{2} \right) \\
v_r^2 &= 84 + \frac{48\sqrt3 ^2}{2} \\
v_r^2 &= 84 + 24 \cdot 3 \\
v_r^2 &= 84 + 72 \\
v_r^2 &= 156 \\
v_r &= \sqrt{156} \approx 12,5
\end{align}