Teoria Ângulos no triângulo

Para qualquer triângulo ABC e quaisquer três ângulos internos $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$ existe a seguinte proporção:

$$\dfrac{AB}{\text{sen} \hat{C}} = \dfrac{BC}{\text{sen} \hat{A}} = \dfrac{CA}{\text{sen} \hat{B}} = K$$

A constante de proporção $K$ entre os lados e os senos não é um valor qualquer. Ela corresponde ao valor do diâmetro (ou seja $2r$) do círculo circunscrito ao triângulo.

Esta proporção nos diz que quando maior for um ângulo interno, maior será o lado oposto a este ângulo.

Também podemos interpretar como:

• o maior lado do triângulo é oposto ao maior ângulo;
• o menor lado é oposto ao menor ângulo.

A lei dos senos se mostra útil quando são conhecidos pelo menos dois ângulos e pelo menos um lado do triângulo ou o raio do círculo circunscrito.

Em um triângulo, dois ângulos internos medem $30^{\circ}$ e $15^{\circ}$. O lado oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ mede $8$ unidades. Iremos calcular a medida do lado oposto ao terceiro ângulo.

Primeiramente podemos calcular o terceiro ângulo através da soma dos ângulos internos:
\begin{align}
\alpha + 30 + 15 &= 180 \\
\alpha + 45 &= 180 \\
\alpha &= 180 – 45 \\
\alpha &= 135
\end{align}

E agora, podemos utilizar este ângulo na lei dos senos, relacionado ao lado de tamanho $x$:

\begin{align}
\dfrac{8}{\text{sen}30^{\circ}} &= \dfrac{x}{\text{sen}135^{\circ}} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{x}{\frac{\sqrt2}{2}} \\
8 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} &= \dfrac{1}{2} \cdot x \\
\dfrac{8\sqrt2}{2\hspace{-0.25cm}/} &= \dfrac{x}{2\hspace{-0.25cm}/} \\
x &= 8 \sqrt 2
\end{align}

Um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medem $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$ foi inscrito em um círculo de raio $r=4 cm$. Iremos calcular o seu perímetro (soma de todas as medidas dos lados).

Para um triângulo inscrito temos a relação:
$$\dfrac{\text{lado oposto}}{\text{sen} \alpha} = 2r$$

Utilizaremos esta relação para calcular os três lados do triângulo:
\begin{align}
\dfrac{b}{\text{sen}90^{\circ}} &= 2r \\
\dfrac{a}{1} &= 2 \cdot 4 \\
a &= 8 cm
\end{align}

\begin{align}
\dfrac{b}{\text{sen}60^{\circ}} &= 2r \\
\dfrac{b}{\frac{\sqrt3}{2}} &= 2 \cdot 4 \\
b &= \frac{8\sqrt3}{2} \\
b &= 4 \sqrt3 cm
\end{align}

\begin{align}
\dfrac{c}{\text{sen}30^{\circ}} &= 2r \\
\dfrac{c}{\frac{1}{2}} &= 2 \cdot 4 \\
c &= \frac{1}{2} \cdot 8 \\
c &= 4 cm
\end{align}

Com o valor de cada lado podemos calcular o perímetro do triângulo:
\begin{align}
P &= a + b + c \\
&= 8 + 4\sqrt3 + 4 \\
&= 12 + 4 \sqrt 3 \\
&= 4 (3 + \sqrt 3) cm
\end{align}