Teoria Equação do 1º grau

Outra ténica para resolver equações com frações é a de anular os denominadores a partir de um número multiplicado em ambos os membros.

O melhor valor para desempenhar este papel de multiplicador é o mmc entre os denominadores.

Veja um exemplo:

$$\dfrac{5x}{3} – 4 = \dfrac{7}{6}$$

Primeiro observe que $mmc(3,6) = 6$, pois $6$ é múltiplo de $3$. Este será o número que irá multiplicar todos os termos, em ambos os membros da equação:

\begin{align}
6 \cdot \dfrac{5x}{3} – 6 \cdot 4 &= 6 \cdot \dfrac{7}{6}
\end{align}

Perceba que o denominador $3$ pode ser simplificado, assim como o denominador $6$; iremos fazê-lo e prosseguir com a resolução:

\begin{align}
^2 6 \hspace{-0.5em}/ \cdot \dfrac{5x}{6 \hspace{-0.5em}/ } – 6 \cdot 4 &= 6 \hspace{-0.5em}/ \cdot \dfrac{7}{6\hspace{-0.5em}/} \\
2 \cdot 5x- 6 \cdot 4 &= 7\\
10x- 24 &= 7 \\
10x &= 7 + 24 \\
10x &= 31 \\
x &= \dfrac{31}{10}
\end{align}

O mmc entre $11$ e $3$ é $33$, pois são primos entre si. Ele será o multiplicador em ambos os membros:

\begin{align}
33 \cdot \dfrac{x}{11} – 33 \cdot \dfrac{2}{3} &= 33 \cdot 8 \\
\dfrac{33x}{11} – \dfrac{66}{3} &= 264 \\
3x- 22 &= 264 \\
3x &= 264 + 22 \\
3x &= 286 \\
x &= \dfrac{286}{3}
\end{align}

Primeiro temos que $mmm(4,5)=20$. Apenas um $20$ irá aparecer no primeiro membro, pois o termo $\dfrac{1}{4} \cdot (3x -4)$ deve ser considerado como um só, a multiplicação não os separa.

\begin{align}
^5 20 \hspace{-0.7em}/ \cdot \dfrac{1}{4\hspace{-0.45em}/ } \cdot (3x-4) &= 20 \cdot x- \dfrac{1}{5\hspace{-0.5em}/ } \cdot 20 \hspace{-0.6em}/ \hspace{0.2em} ^4 \\
5(3x- 4) &= 20 x- 1 \cdot 4 \\
15x- 20 &= 20x- 4 \\
- 20 + 4 &= 20 x- 15 x \\
- 16 &= 5x \\
- \dfrac{16}{5} &= x
\end{align}