Teoria Equação do 1º grau

Uma das ferramentas para resolver equações é operação inversa. A seguir, iremos apresentar problemas que exemplificam e estimulam o uso de operações inversas das $4$ operações básicas para serem resolvidos.

Pense, por exemplo, no seguinte problema:

“Marli possuía certa quantia de créditos no celular, quando efetuou uma recarga de R$\$ 15, \hspace{-0.2em}00$ e ficou com R$\$ 20, \hspace{-0.2em}00$. Quanto de crédito Marli possuía antes da recarga?”

Perceba que a quantia que Marli possuía foi somada com R$\$15,\hspace{-0.2em}00$. Entretanto, devemos subtrair R$\$15,\hspace{-0.2em}00$ de R$\$20,\hspace{-0.2em}00$ para obtermos a resposta.

Em linguagem algébrica, o valor desconhecido é representado através de uma letra, sendo que a mais comum é $\mathbf{x}$. Assim, podemos equacionar e resolver o problema da seguinte forma:

\begin{align}
x + 15 &= 20 \\
x &= 20- 15 \\
x &= 5
\end{align}

O $15$ que aparece com sinal positivo indicado no membro esquerdo da fração vai para o membro direito com o sinal negativo indicado.

Portanto, Marli possuía R$\$5,\hspace{-0.2em}00$ antes de efetuar a recarga.

“Marli possía certo números de créditos em seu celular e depois de fazer uma ligação recebeu a seguinte mensagem de sua operadora: ‘Você utilizou R$\$1,70$. Seu saldo agora é de R$\$16,20$’. Qual era o saldo de Marli antes da ligação?”

Note que foram subtraídos R$\$1,\hspace{-0.2em}70$ do saldo de Marli, resultando em R$\$16,\hspace{-0.2em}20$. Entretanto, devemos somar estes valores para saber quanto Marli possuía antes da ligação.

Iremos equacionar e resolver o problema da seguinte forma:

\begin{align}
x- 1,70 &= 16,20 \\
x &= 16,20 + 1,70 \\
x &= 17,90
\end{align}

O $- 1,70$ que aparece com sinal negativo indicado no primeiro membro, passa para o segundo membro com o sinal positivo.

Portanto Marli possuía R$\$17,\hspace{-0.2em}90$ antes de efetuar a ligação.

Mas não é só isso. A subtração é uma operação não-comutativa, isto é, fazer $5 – 7$ não é o mesmo que fazer $7 – 5$. Observe um problema em outro contexto:

“Mauro possuía 238 fotos de pássaros salvas em seu computador, mas após ter problemas em seu disco rígido, ficou apenas com 114 delas. Quantas fotos de Mauro foram perdidas devido a este ocorrido?”

Perceba que de $238$ fotos foi subtraída uma quantia desconhecida resultando em $114$ fotos. Entretanto, precisamos subtrair estas $114$ fotos de $238$ para descobrir quantas fotos foram perdidas.

“Como assim? A operação inversa da subtração não é a adição?”, você deve estar pensando. A verdade é que depende do elemento a ser descoberto. Veja na equação o que ocorre:

\begin{align}
238- x &= 114 \\
238 &= 114 + x
\end{align}

O $x$ que estava subtraindo à esquerda fica somando à direita. Agora o problema é inverter a soma de $x$ com $114$, ou seja, através de uma subtração.

\begin{align}
238 &= 114 + x \\
238- 114 &= x \\
124 &= x
\end{align}

Portanto, foram perdidas $124$ fotos de Mauro.

Um elemento que participa de uma soma ou subtração em um dos membros da equação tem seu sinal trocado ao trocar de membro.

Veja os exemplos abaixo:

$$ \begin{array}{c r c l}
a) \hspace{2em} &80\color{blue}{- x} &= &\color{red}{37} \\
&80\color{red}{- 37} &= &\color{blue}x \\
&43 &= &x
\\
\\
b) \hspace{2em} & 2x + 3 &= & \color{red}{x}- 5 \\
& 2x \color{blue}{+ 3}\color{red}{- x} &=&- 5 \\
& 2x- x &=&- 5\color{blue}{- 3} \\
& x &=& -8
\\
\end{array}$$

“Décio comprou um punhado de balas e pagou R$\$3,20$. Ele não contou exatamente quantas balas comprou, mas sabe que o valor de cada bala era de R$\$0,20$ centavos. Quantas balas ele comprou?”

Note que para calcular o valor total da compra de Décio é preciso multiplicar o total de balas pelo preço de cada bala. Mas já é conhecido o total da compra, o qual deve ser dividido pelo preço de cada bala para sabermos quantas balas foram compradas.

Denotando a quantidade de balas como $x$, podemos resolver o problema da seguinte maneira:

\begin{align}
x \cdot 0,20 &= 3,20 \\
x &= \dfrac{3,20}{0,20} \\
x &= 16
\end{align}

O $0,20$ que estava multiplicando no primeiro membro, passa dividindo os termos do segundo membro.

Desta maneira, descobrimos que havia $16$ balas no punhado que Décio comprou.

“Inácio precisa resolver uma lista com alguns exercícios de matemática. Ele decidiu dividir o trabalho igualmente em $3$ dias, de maneira que precisou resolver $5$ exercícios em cada dia. Em quantos dias Inácio resolveu a lista?”

Note que a quantidade de exercícios foi dividida pelos $3$ dias, mas é multiplicando esses $3$ dias pelos $5$ exercícios por dia que encontraremos o valor procurado.

Se considerarmos que $x$ é a quantidade de exercícios que Inácio precisava resolver, podemos montar e resolver a seguinte equação:

\begin{align}
\dfrac{x}{3} &= 5 \\
x &= 5 \cdot 3 \\
x &= 15
\end{align}

O $3$ que era divisor no primeiro membro, passa multiplicando no segundo membro. Portanto, Inácio precisava resolver $15$ exercícios.

Entretanto, assim como a subtração, a divisão é uma operação não-comutativa. Observe um problema em que o valor desconhecido é o divisor:

“Uma escola de aulas particulares de matemática organizou um evento e nele foram distribuídas $60$ camisetas para certo número de pessoas. Se as camisetas foram divididas igualmente e cada pessoa recebeu $2$ camisetas, quantas pessoas foram ao evento?”

As $60$ camisetas foram divididas por certo número de pessoas e cada uma recebeu $2$. Para descobrir este número de pessoas, devemos dividir $60$ por $2$.

“Como assim? A operação inversa da divisão não é a multiplicação?”, você deve estar pensando. De fato é, mas dependendo do caso é preciso inverter a operação duas vezes em seguida. Veja na equação o que ocorre:

\begin{align}
\dfrac{60}{x} &= 2 \\
60 &= 2 \cdot x
\end{align}

O $x$ que está dividindo no primeiro membro passa multiplicando os termos do segundo membro. Agora devemos inverter uma multiplicação.

\begin{align}
60 &= 2 \cdot x \\
\dfrac{60}{2} &= x \\
30 &= x
\end{align}

Portanto, compareceram $30$ pessoas ao evento.

Um elemento que participa de uma multiplicação em um dos membros da equação, passa dividindo o(s) elemento(s) do outro membro.

Veja os exemplos abaixo:

$$ \begin{array}{c r c l}
a) \hspace{2em} &x\cdot \color{blue}{ 13} &= & 39 \\
&x &=& \dfrac{39}{13} \\
& x &=& 3
\\
\\
b) \hspace{2em} &\color{red} 5x &= & 145 \\
& x &=& \dfrac{145}{\color{red}5} \\
& x &=& 29
\\
\end{array}$$

Um divisor em um dos membros passa multiplicando o(s) termo(s) do outro membro.

Veja os exemplos abaixo:

\begin{array}{c r c l}
a) \hspace{2em} &\dfrac{x}{\color{blue}4} &=& 3,5 \\
& x &=& \color{blue}4 \cdot 3,5 \\
& x &=& 14 \\
\\
\\
b) & \dfrac{420}{\color{red}x} &= & 15\\
& 420 &=& \color{blue}{15} \cdot \color{red}x \\
& \dfrac{420}{\color{blue}{15}} &=& x \\
& 28 &=& x
\end{array}