Teoria Equação do 1º grau

Considere a seguinte equação:

$$\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} + 4 = x$$

Iremos calcular o mmc entre $2$ e $3$, pois são os denominadores que aparecem. Os denominadores do $4$ e do $x$ no 2º membro são considerados $1$.

$$\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{4}{1} = \dfrac{x}{1}$$

Este número será o novo denominador para todos os termos, nos dois membros da equação.

\begin{align}
mmc(2,3) &= 6 \\
\\
\dfrac{\hspace{5em}}{6} &= \dfrac{\qquad}{6}
\end{align}

Lembre-se que quando trocamos o denominador de uma fração, o numerador precisa sofrer uma correção. Este processo é conhecido como “dividir pelo debaixo, multiplicar pelo de cima”.

\begin{align}
\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} + 4 &= x \\
\dfrac{2 \cdot x + 3 \cdot x + 6 \cdot 4}{6} &= \dfrac{6 \cdot x}{6}
\end{align}

Após deixar os dois membros sobre um mesmo denominador, estes podem ser cancelados e a equação prossegue:

\begin{align}
\dfrac{2 \cdot x + 3 \cdot x + 6 \cdot 4}{6\hspace{-0.5em}/} &= \dfrac{6 \cdot x}{6\hspace{-0.5em}/}\\
2x + 3x + 24 &= 6x \\
5x + 24 &= 6x \\
5x- 6x &= – 24 \\
-x &= -24 \\
x &= 24
\end{align}

Repare que nesta equação aparece mais de um termo sobre um mesmo denominador, como $\dfrac{x+1}{2}$ por exemplo; veremos como trabalhar com estes termos.

Primeiramente é preciso calcular o mmc dos denominadores $2$, $3$ e $4$.

$$mmc(2,3,4) = 12$$

Este será o denominador dos dois membros; vamos acertar os numeradores e resolver a equação; nesta etapa, o multiplicador de cada termo deve ser distribuído, ou seja, deve-se utilizar parênteses:

\begin{align}
\dfrac{6 \cdot (x +1)- 4 \cdot x }{12} &= \dfrac{3 (2x + 1)}{12} \\
\dfrac{6x + 6- 4x}{12\hspace{-0.7em}/} &= \dfrac{6 x + 3}{12 \hspace{-0.7em}/} \\
6x + 6- 4x &= 6x + 3 \\
6x- 4x- 6x &= 3- 6 \\
-4 x &= – 3 \\
x &= \dfrac{-3}{-4} = \dfrac{3}{4}
\end{align}

Primeiro, efetuamos a distribuição da multiplicação da fração, depois alteramos os denominadores.

\begin{align}
\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{(4- x)}{1} + 5 &= 2x \\
\dfrac{8- 2x}{3} + 5 &= 2x \\
\dfrac{8 – 2x + 3 \cdot 5}{3\hspace{-0.5em}/} &= \dfrac{3 \cdot 2x}{3\hspace{-0.5em}/} \\
8- 2x + 15 &= 6x \\
8 + 15 &= 6x + 2x \\
23 &= 8x \\
\dfrac{23}{8} &= x
\end{align}