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Fórmula de Bhaskara

Uma equação do $2º$ grau possui até duas soluções, e podemos encontrá-las com a famosa fórmula de Bhaskara.

Essa fórmula é recomendada nas resoluções de equações completas.

Na fórmula de Bhaskara são utilizados os coeficientes da equação do $2º$ grau para os seguintes cálculos:

$$
\Delta =b^2-4 \cdot a \cdot c\\
x = \dfrac {-b \pm \sqrt{ \Delta} }{2 \cdot a}
$$

Uma das soluções é encontrada com $+ \sqrt{\Delta}$ na fórmula e a outra com $- \sqrt{\Delta}$.

Exemplo: $x^2-3x+2=0$

$(a=1,$ $b=-3,$ $c=2 )$

$$
\Delta =b^2-4 \cdot a \cdot c\\
\Delta =(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2\\
\Delta =9-8 \\
\Delta =1\\
$$ Depois de determinar o valor do delta, podemos ir para a resolução da segunda parte da fórmula de Bhaskara:
$$
\begin{align}
x &= \dfrac {-b \pm \sqrt{ \Delta} }{2 \cdot a} \\
x &= \dfrac {-(-3) \pm \sqrt{ 1} }{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac {3 \pm 1 }{2 } \\
\end{align}
\Rightarrow
\begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {3 + 1 }{2 } = \dfrac {4 }{2 } =2\\
x_2 &= &\dfrac {3- 1 }{2 } = \dfrac {2 }{2 } =1
\end{array}
\\
S = \{1,2\}
$$

5.1

Resolvendo a equação: $ \quad x^2 -7x + 12 = 0 $.

$$
\begin{align}
&x^2 – 7x + 12 = 0 \\
\Delta &=(-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12\\
\Delta &=49- 48 \\
\Delta &=1\\
x &= \dfrac {-(-7) \pm \sqrt{ 1} }{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac {7 \pm 1 }{2 } \\
\end{align}
\Rightarrow
\begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {7 + 1 }{2 } = \dfrac {8 }{2 } =4\\
x_2 &= &\dfrac {7- 1 }{2 } = \dfrac {6 }{2 } =3
\end{array}
$$

Logo, o conjunto solução é $S=\{3,4\}$.

5.2

Resolvendo a equação: $ \quad 2x^2 - x - 1 = 0 $

$$\begin{align}
2&x^2 – x – 1 = 0 \\
\Delta &= (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1)\\
\Delta &= 1 + 8 \\
\Delta &= 9\\
x &= \dfrac {-(-1) \pm \sqrt{ 9} }{2 \cdot 2} \\
x &= \dfrac {1 \pm 3 }{4 } \\
\end{align}
\Rightarrow
\begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {1 + 3 }{4 } = \dfrac {4 }{4 } =1\\
x_2 &= &\dfrac {1 – 3 }{4 } = \dfrac { -2 }{4 } = \dfrac { -1 }{2 }
\end{array}$$

5.3

Resolvendo a equação: $ \quad 3x^2 - 2x + 5 = 0 $.

$$
\begin{align}
3&x^2 – 2x + 5 = 0 \\
\Delta &= (-2)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5\\
\Delta &= 4 – 60 \\
\Delta &= -56
\end{align}
$$

Como nesse caso o $\Delta<0$, então a equação não possui raiz real.
Logo, o conjunto solução é $S= \varnothing$.

5.4

Resolvendo a equação: $4(x^2 +2x +1) = 2x^2 + x -1$

Primeiro, deve-se trazer todos os termos ao primeiro membro e igualar a $0$.

\begin{array}{r c l}
4x^2 + 8x + 4 &=& 2x^2 + x- 1 \\
4x^2 + 8x + 4- 2x^2- x +1&=& 0 \\
4x^2 – 2x^2 + 8 x- x + 4 + 1 &=&0 \\
2x^2 + 7x + 5 &= &0
\end{array}

Agora a equação está na forma de Bháskara. Os coeficientes são $a=2$, $b=7$ e $c=5$. Iremos calcular o discriminante $(\Delta)$ e as soluções:

$$
\begin{align}
\Delta &= 7^2- 4 \cdot 2 \cdot 5 \\
\Delta &= 49 – 40 \\
\Delta &= 9 \\
\\
x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt9}{2 \cdot 2}\\
x &= \dfrac{-7 \pm 3}{4}
\end{align}
\Rightarrow
\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{-7 + 3 }{4} = \dfrac{-4}{4} = -1 \\
x_2 &=& \dfrac{-7 -3}{4} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}
\end{array}
$$

Portanto o conjunto solução é $S=\left \{ -1, \dfrac{1}{2}\right \}$