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O discriminante e a quantidade de raízes

O número de raízes de uma equação do $2º$ grau depende diretamente dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Chamamos de discriminante e indicamos pelo símbolo $\Delta$ (delta) o número $\Delta = b^2 – 4ac$.

Sabendo o valor do discriminante $\Delta$, pode-se determinar quantas raízes reais a função possui. Mais especificamente:

  • $\Delta > 0$ : duas raízes reais distintas.
  • $\Delta = 0$ : duas raízes reais iguais.
  • $\Delta < 0$ : não há raízes reais.
6.1

Exemplo 1

Vamos determinar $p$ a fim de que a equação $x^2 – 2x + p=0$ admita duas raízes reais e iguais.

Considerando uma equação do $2^o.$ grau do tipo $ \color{blue}{a}x^2 + \color{blue}{b}x + \color{blue}{c}=0$, onde $ \color{blue}{a}$, $ \color{blue}{b}$ e $ \color{blue}{c}$ são coeficientes numéricos pertencentes ao conjunto dos $\mathbb{R}$ , vamos determinar $ \color{blue}{a}$, $ \color{blue}{b}$ e $ \color{blue}{c}$ para a equação dada. Vamos lá !

\begin{align}
x^2 – 2x + p &=0 \\
\color{blue}{1} \cdot x^2 \color{blue}{ – 2} \cdot x \color{blue}{ + p} &=0 \\
\end{align}

Assim, $\color{blue}{a}=1$, $\color{blue}{b}= – 2$ e $\color{blue}{c}=p$.

Sabendo-se que quando o discrimante $ \Delta $ é zero a equação possui duas raízes reais e iguais:

\begin{align}
\Delta &= 0 \\
b^2 – 4 \cdot a \cdot c&=0\\
( – 2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot p &= 0 \\
4 – 4p&=0 \\
p&=1
\end{align}

Logo, $p=1$.