Teoria Equação do 2º grau

Para resolver uma equação do $2º$ grau por soma e produto serão necessárias duas novas fórmulas:

$$
S = \dfrac {-b}{a} \quad \text{e} \quad
P = \dfrac {c}{a}$$

Indicamos por $S$ a soma das duas raízes $( x_1 + x_2)$ e por $P$ o produto das duas raízes $( x_1 \cdot x_2)$.

Este método é recomendado quando $\mathbf{a=1}$, isto é, se a equação tem a forma:

$$x^2 + bx + c =0,$$

a soma e o produto são calculados como:

$$
S = \dfrac {-b}{1} = -b\\
P = \dfrac {c}{1} = c
$$

Conclusão: quando $\mathbf{a=1}$ a soma das raízes $(S)$ é o oposto do termo que acompanha a letra; o produto das raízes $(P)$ é o próprio termo independente.

$$
S = \dfrac {-(-6)}{1} = 6 \quad \text{e} \quad
P = \dfrac {8}{1}=8
$$

Então, precisamos pensar em dois números tais que:

• $x_1 + x_2 = 6 \;$ e
• $x_1 \cdot x_2 = 8$.

E esses números são o $2$ e $4$, pois:

• $2 + 4 = 6 \;$ e
• $2 \cdot 4 = 8$.

Logo, a solução da equação é $ S = \{2,4\}$

$$
S = \dfrac {-(-2)}{1} = 2 \quad \text{e} \quad
P = \dfrac {-15}{1}=-15
$$

Então, precisamos pensar em dois números tais que:

• $x_1 + x_2 = 2 \;$ e
• $x_1 \cdot x_2 = -15$.

Note que o produto é negativo, ou seja, as soluções devem ter sinais diferentes. Esses números são $-3$ e $5$, pois:

• $-3 + 5 = 2 \;$ e
• $-3 \cdot 5 = -15$.
  Logo, a solução da equação $ S = \{-3,5\}$

$$S = \dfrac{-7}{1} = -7 \quad \text{ e } \quad P = \dfrac{6}{1} = 6$$

Então precisamos pensar em dois números tais que:

• $x_1 + x_2 = -7$ e
• $x_1 \cdot x_2 = 6$

Note que o produto dos dois números é positivo, portanto $\mathbf{x_1}$ e $\mathbf{x_2}$ tem o mesmo sinal.

Como a soma é negativa, estamos falando de duas soluções negativas. De fato, os números procurados são $-1$ e $-6$, pois:

• $(-1) + (-6) = -7$
• $(-1) \cdot (-6) = 6$

Logo, a solução da equação é $S = \{ -6, -1\}$.