Teoria Potência

Para qualquer base racional da forma $\dfrac{a}{b} \neq 0$ e $n \in \mathbb{Z}$ temos que:

$$\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^{n}$$

Como caso particular, se a base for um número inteiro $a \neq 0 $, então:

$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$

Iremos construir o que significa um expoente negativo. Iremos calcular $\dfrac{5^2}{5^3}$ de duas maneiras:

Por um lado:

$$\dfrac{5^2}{5^3} = \dfrac{5 \hspace{-0.5em}/ \cdot 5 \hspace{-0.5em}/}{5 \cdot 5 \hspace{-0.5em}/ \cdot 5 \hspace{-0.5em}/} = \dfrac{1}{5}$$

Por outro, utilizando a propriedade da divisão de potências:

$$\dfrac{5^2}{5^3} = 5^{2-3} = 5^{-1}$$

Os dois resultados devem ser o mesmo, portanto, podemos afirmar que:

$$5^{-1} = \dfrac{1}{5}$$

Ou seja, um expoente negativo inverte a base.

Todas as propriedades que foram apresentadas anteriormente são válidas para expoentes negativos. Vejamos alguns exemplos de como elas funcionam:

• $10^3 \cdot 10^{-2} = 10^{3+(-2)} = 10^1$
• $\dfrac{10^{4}}{10^{-2}} = 10^{4 – (-2)} = 10^{4+2} = 10^{6}$
• $\dfrac{3^5}{3^7} = 3^{5-7} = 3^{-2}$
• $(2^3)^{-1} = 2^{-3}$
• $(0,3^{-2})^{-4} = 0,3^{-2 \cdot (-4)} = 0,3^{8}$

• $3^{-1} = \dfrac{1}{3}$
• $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}$
• $\left ( \dfrac{5}{2} \right) ^{-3} =\left ( \dfrac{2}{5} \right) ^{3} = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$
• $(0,75)^{-2} = \left ( \dfrac{3}{4} \right) ^{-2} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2} = \dfrac{16}{9}$