Teoria Potência

Para um valor $x$ e uma fração $\dfrac{a}{b}$ temos que:

$$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x}^a$$

• $25^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{25}^3 = 5^3 = 125$
• $64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64}^1 = 4$
• $81^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{81} ^5 = 3^5 = 243$

Observação: a raiz e a potência são operações que podem ser feitas em qualquer ordem. Nos exemplos acima é mais vantajoso extrair a raiz antes de fazer a potência.

O expoente racional permite que sejam feitas simplificações entre o expoente e o índice da raiz:

• $\sqrt 5 ^ 4 = 5^{\frac{4}{2}} = 5^2$
• $\sqrt[6]10^3 = 10^{\frac{3}{6}} = 10^{\frac{1}{2}}$

Em algumas situações (no Cálculo, por exemplo) é preciso fazer o seguinte desenvolvimento:

• $\dfrac{1}{\sqrt x} = \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$

Todas as propriedades anteriores podem ser aplicadas para os expoentes racionais. Veja alguns exemplos:

• $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 = 3^{\frac{1}{2} + 1} = 3^{\frac{3}{2}}$
• $\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \dfrac{5^{1}}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{1 – \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}$
• $(2^2)^{\frac{n+1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{n+1}{2}} = 2^{n+1}$